- Source: Teorema akar rasional
Teorema akar rasional atau uji akar rasional atau teorema rasional nol adalah teorema yang pertama kali ditemukan oleh René Descartes pada abad ke-17.. Teorema ini menjelaskan persamaan polinomial dengan koefisien adalah bilangan bulat dan solusi akarnya berupa bilangan rasional. Teorema mengatakan bahwa untuk persamaan
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
=
0
{\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0}
,
dimana
a
0
,
…
,
a
n
∈
Z
{\displaystyle a_{0},\dots ,a_{n}\in \mathbb {Z} }
. Jika persamaan memiliki suatu akar rasional, maka bentuk akar tersebut adalah
x
=
{
±
faktor dari
a
0
±
faktor dari
a
n
}
{\displaystyle x=\left\{{\frac {\pm {\text{faktor dari }}a_{0}}{\pm {\text{faktor dari }}a_{n}}}\right\}}
,
asalkan penyebut dan pembilang pada suatu solusi
x
{\displaystyle x}
(adalah bilangan rasional) harus membagi habis
a
n
{\displaystyle a_{n}}
dan
a
0
{\displaystyle a_{0}}
.
Misalnya, diberikan persamaan
P
(
x
)
=
x
3
−
4
x
2
+
2
x
−
8
=
0
{\displaystyle P(x)=x^{3}-4x^{2}+2x-8=0}
. Pada kasus ini,
−
8
{\displaystyle -8}
memiliki faktor
±
1
,
±
2
,
±
4
,
±
8
{\displaystyle \pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8}
dan
1
{\displaystyle 1}
memiliki faktor
±
1
{\displaystyle \pm 1}
. Maka, akar pada penyelesaian tersebut adalah
±
{
1
,
2
,
4
,
8
}
{\displaystyle \pm \{1,2,4,8\}}
. Dengan memasukkan semua kemungkinan nilai
x
{\displaystyle x}
agar persamaan di atas sama dengan nol, maka kita memperoleh
x
=
4
{\displaystyle x=4}
.
Bukti
Misal
x
=
p
q
{\textstyle x={\frac {p}{q}}}
adalah akar rasional pada persamaan polinomial
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)}
. Kita cukup membuktikan teorema ini bahwa
p
∣
a
0
{\displaystyle p\mid a_{0}}
dan
q
∣
a
n
{\displaystyle q\mid a_{n}}
, dimana
FPB
(
p
,
q
)
=
1
{\displaystyle \operatorname {FPB} (p,q)=1}
. Substitusi nilai
x
{\displaystyle x}
sehingga kita memperoleh
a
n
(
p
q
)
n
+
a
n
−
1
(
p
q
)
n
−
1
+
⋯
+
a
1
(
p
q
)
+
a
0
=
0
{\displaystyle a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\frac {p}{q}}\right)+a_{0}=0}
.
Kita akan membuktikan bahwa
p
{\displaystyle p}
membagi habis
a
0
{\displaystyle a_{0}}
. Mula-mula, kita pindah-ruaskan
a
0
{\displaystyle a_{0}}
.
a
n
(
p
q
)
n
+
a
n
−
1
(
p
q
)
n
−
1
+
⋯
+
a
1
(
p
q
)
=
−
a
0
{\displaystyle a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\frac {p}{q}}\right)=-a_{0}}
.
Bagi kedua ruas dengan
q
n
{\displaystyle q^{n}}
dan faktor-keluarkan
p
{\displaystyle p}
untuk ruas kiri. Kita memperoleh
p
(
a
n
p
n
−
1
+
⋯
+
a
1
)
=
−
a
0
q
n
{\displaystyle p\left(a_{n}p^{n-1}+\cdots +a_{1}\right)=-a_{0}q^{n}}
.
Disini, kita memperoleh bahwa
p
{\displaystyle p}
membagi habis
a
0
{\displaystyle a_{0}}
. Sekarang, kita membuktikan
q
{\displaystyle q}
membagi habis
a
n
{\displaystyle a_{n}}
. Dengan cara yang serupa, kita pindah-ruaskan
a
n
(
p
q
)
n
{\textstyle a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}}
dan kalikan kedua ruas dengan
q
n
{\displaystyle q^{n}}
.
q
(
a
n
−
1
p
n
−
1
+
⋯
+
a
1
p
q
n
+
1
+
a
0
q
n
)
=
−
a
n
p
n
{\displaystyle q\left(a_{n-1}p^{n-1}+\cdots +a_{1}pq^{n+1}+a_{0}q^{n}\right)=-a_{n}p^{n}}
.
Disini, kita memperoleh bahwa
q
{\displaystyle q}
membagi habis
a
n
{\displaystyle a_{n}}
.
◼
{\displaystyle \blacksquare }
Rujukan
Kata Kunci Pencarian:
- Teorema akar rasional
- Akar kuadrat
- Akar bilangan
- Bilangan prima
- Teorema Terakhir Fermat
- Teorema dasar aljabar
- Rumus Vieta
- Matematika
- Persamaan kuadrat
- Bilangan irasional
