Dalam teori
bilangan,
Teorema bilangan prima (TBP) menjelaskan asimtotik, distibusi dari
bilangan prima di antara
bilangan bulat positif.
Teorema ini dibuktikan secara independen oleh Jacques Hadamard dan Charles Jean de la Vallée Poussin pada tahun 1896 menggunakan ide-ide yang diperkenalkan oleh Bernhard Riemann (khususnya, fungsi zeta Riemann).
Distribusi pertama yang ditemukan adalah
π
(
N
)
∼
N
ln
(
N
)
{\displaystyle \pi (N)\sim {\frac {N}{\ln(N)}}}
, dimana
π
(
N
)
{\displaystyle \pi (N)}
adalah fungsi penghitungan
bilangan prima dan
ln
(
N
)
{\displaystyle \ln(N)}
adalah logaritma alami . Ini berarti, untuk yang cukup besar, kemungkinan bahwa sebuah
bilangan bulat acak tidak lebih besar dari
N
{\displaystyle N}
adalah
bilangan prima yang sangat dekat ke
1
ln
(
N
)
{\displaystyle {\frac {1}{\ln(N)}}}
. Karena itu, sebuah
bilangan bulat acak dengan paling banyak
2
n
{\displaystyle 2n}
digit (untuk
n
{\displaystyle n}
yang cukup besar) kemungkinannya sekitar setengahnya menjadi
bilangan prima sebagai
bilangan bulat acak dengan paling banyak
n
{\displaystyle n}
digit.
Sebagai contoh, antara
bilangan bulat positif paling banyak 1000 digit, sekitar satu dari 2300 adalah
bilangan prima (
ln
(
10
1000
)
≈
2302.6
{\displaystyle \ln(10^{1000})\approx 2302.6}
), sedangkan di antara
bilangan bulat paling banyak 2000 digit, sekitar satu dari 4600 adalah
bilangan prima (
ln
(
10
2000
)
≈
4605.2
{\displaystyle \ln(10^{2000})\approx 4605.2}
). Dengan kata lain, jarak rata-rata antara
bilangan prima berurutan sekitar
bilangan bulat
N
{\displaystyle N}
pertama kira-kira
ln
(
N
)
{\displaystyle \ln(N)}
.
Pernyataan
Misalkan
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
adalah fungsi penghitung
bilangan prima yang memberikan
bilangan prima kurang dari sama dengan
x
{\displaystyle x}
, untuk setiap
bilangan real
x
{\displaystyle x}
. Misalnya,
π
(
10
)
=
4
{\displaystyle \pi (10)=4}
karena terdapat empat
bilangan prima (2, 3, 5, dan 7) kurang dari sama dengan 10.
Teorema bilangan prima kemudian menyatakan bahwa
x
ln
x
{\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}
adalah sebuah aprokismasi yang baik untuk
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
, dalam arti bahwa limit dari hasil bagi dari dua fungsi
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
dan
x
ln
x
{\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}
saat
x
{\displaystyle x}
meningkat tanpa batas adalah 1ː
lim
x
→
∞
π
(
x
)
[
x
ln
(
x
)
]
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\;\pi (x)\;}{\;\left[{\frac {x}{\ln(x)}}\right]\;}}=1}
,
Ini dikenal sebagai hukum asimtotik distribusi
bilangan prima. Dengan menggunakan notasi asimtotik, hasil ini dapat dikemukakan kembali sebagai
π
(
x
)
∼
x
log
x
{\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\log x}}}
.
Notasi ini (dan teoremanya) tidak mengatakan apapun tentang limit dan selisih dari dua fungsi saat
x
{\displaystyle x}
meningkat tanpa batas. Sebagai gantinya, teoremanya mengatakan bahwa
x
ln
x
{\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}
mendekati
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
dalam arti bahwa galat relatif dari aprokismasi ini mendekati 0
Teorema bilangan prima setara dengan pernyataan bahwa
bilangan prima
p
n
{\displaystyle p_{n}}
ke-
n
{\displaystyle n}
memenuhiː
p
n
∼
n
ln
(
n
)
{\displaystyle p_{n}\sim n\ln(n)}
,
pengertian dari notasi asimtotik, lagi, bahwa galat relatif dari aproksimasi ini mendekati 0 saat
n
{\displaystyle n}
meningkat tanpa batas. Sebagai contoh,
bilangan prima ke
2
×
10
17
{\displaystyle 2\times 10^{17}}
adalah
8
512
677
386
048
191
063
{\displaystyle 8\ 512\ 677\ 386\ 048\ 191\ 063}
, dan
(
2
×
10
17
)
ln
(
2
×
10
17
)
{\displaystyle (2\times 10^{17})\ln(2\times 10^{17})}
membulatkan ke
7
967
418
752
291
744
388
{\displaystyle 7\ 967\ 418\ 752\ 291\ 744\ 388}
, sebuah galat relatif sekitar
6.4
%
{\displaystyle 6.4\%}
.
Seperti yang diuraikan di bawah,
Teorema bilangan prima juga setara dengan
lim
x
→
∞
ϑ
(
x
)
x
=
lim
x
→
∞
ψ
(
x
)
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\vartheta (x)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1}
,
dimana
ϑ
{\displaystyle \vartheta }
dan
ψ
{\displaystyle \psi }
adalah fungsi Chebyshev pertama dan kedua.
Sketsa bukti
ini adalah sebuah sketsa dari bukti yang disebut di salah satu kuliah Terence Tao. Ide tersebut adalah untuk menghitung bilangan prima (atau sebuah himpunan yang terkait seperti himpunan dari pangkat-pangkat bilangan prima) dengan bobot untuk sampai pada sebuah fungsi dengan perilaku asimtotik yang lebih mulus. Yang paling umum seperti fungsi penghitungan rampat adalah fungsi Chebyshev.
ψ
(
x
)
=
∑
p
is prime
p
k
≤
x
,
ln
p
{\displaystyle \psi (x)=\!\!\!\!\sum _{\stackrel {p^{k}\leq x,}{p{\text{ is prime}}}}\!\!\!\!\ln p}
Kadang-kadang, ini ditulis sebagai
ψ
(
x
)
=
∑
n
≤
x
Λ
(
n
)
{\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)}
,
dimana
Λ
(
n
)
{\displaystyle \Lambda (n)}
adalah fungsi von Mangoldt, yaitu
Λ
(
n
)
=
{
log
p
jika
n
=
p
k
untuk beberapa bilangan prima
p
dan bilangan bulat
k
≥
1
,
0
jika tidak.
{\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{jika }}n=p^{k}{\text{ untuk beberapa bilangan prima }}p{\text{ dan bilangan bulat }}k\geq 1,\\0&{\text{jika tidak.}}\end{cases}}}
Sekarang relatif mudah untuk memeriksa bahwa TBP setara dengan tujuannya bahwa
lim
x
→
∞
ψ
(
x
)
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1}
.
Memang, ini mengikuti dari perkiraan yang mudah
ψ
(
x
)
=
∑
p
≤
x
log
p
⌊
log
x
log
p
⌋
≤
∑
p
≤
x
log
x
=
π
(
x
)
log
x
{\displaystyle \psi (x)=\sum _{p\leq x}\log p\left\lfloor {\frac {\log x}{\log p}}\right\rfloor \leq \sum _{p\leq x}\log x=\pi (x)\log x}
dan (menggunakan notasi O besar) untuk setiap
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon >0}
,
ψ
(
x
)
≥
∑
x
1
−
ε
≤
p
≤
x
log
p
≥
∑
x
1
−
ε
≤
p
≤
x
(
1
−
ε
)
log
x
=
(
1
−
ε
)
(
π
(
x
)
+
O
(
x
1
−
ε
)
)
log
x
{\displaystyle \psi (x)\geq \!\!\!\!\sum _{x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}\!\!\!\!\log p\geq \!\!\!\!\sum _{x^{1-\varepsilon }\leq p\leq x}\!\!\!\!(1-\varepsilon )\log x=(1-\varepsilon )\left(\pi (x)+O\left(x^{1-\varepsilon }\right)\right)\log x}
.
Langkah selanjutnya adalah mencari sebuah representasi yang berguna untuk
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
. Misalkan
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
menjadi sebuah fungsi zeta Riemann. Ini bisa menunjukkan bahwa
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
berakitan dengan fungsi von Mangoldt
Λ
(
n
)
{\displaystyle \Lambda (n)}
,
−
ζ
′
(
s
)
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
Λ
(
n
)
n
−
s
{\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)n^{-s}}
.
Sebuah analisis yang rumit dari persamaan ini dan sifat-sifat yang terkati dengan fungsi zeta, menggunakan transformasi Mellin dan rumus Perron, menunjukkkan bahwa untuk bukan bilangan bulat
x
{\displaystyle x}
persamaan
ψ
(
x
)
=
x
−
∑
ρ
x
ρ
ρ
−
log
(
2
π
)
{\displaystyle \psi (x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )}
berlaku, dimana jumlah di atas semuanya nol (trivial dan nontrivial) dari fungsi zeta. Rumus yang mencolok ini adalah salah satu yang disebut rumus eksplisit teori bilangan, dan sudah menunjukkan dari hasil yang kita buktikan, sejak suku
x
{\displaystyle x}
(diklaim menjadi perbaikan urutan asimtotik
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
) muncul pada sebelah kanan, diikuti oleh (agaknya) suku asimtotik urutan lebih rendah.
Langkah selanjutnya dalam bukti melibatkan sebuah studi dari nol dari fungsi zeta. Nol trivial
−
2
,
−
4
,
−
6
,
−
8
,
…
{\displaystyle -2,-4,-6,-8,\dots }
bisa ditangani secara terpisahː
∑
n
=
1
∞
1
2
n
x
2
n
=
−
1
2
log
(
1
−
1
x
2
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n\,x^{2n}}}=-{\frac {1}{2}}\log \left(1-{\frac {1}{x^{2}}}\right)}
,
yang hilang untuk sebuah
x
{\displaystyle x}
besar. Untuk nol nontrivial, yaitu yang ada di garis kritis
0
≤
Re
(
s
)
≤
1
{\displaystyle 0\leq \operatorname {Re} (s)\leq 1}
, berpotensi menjadi sebuah urutan asimtotik sebanding ke suku utama
x
{\displaystyle x}
jika
Re
(
ρ
)
=
1
{\displaystyle \operatorname {Re} (\rho )=1}
, jadi kita perlu menunjukkan bahwa semua nol memiliki bagian real sangat kurang dari
1
{\displaystyle 1}
.
Untuk melakukan ini, kita menerima begitu saja bahwa
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
adalah meromorfik dalam setengah bidang
Re
(
s
)
>
0
{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}
, dan analitik di sana kecuali untuk sebuah kutub sederhana pada
s
=
1
{\displaystyle s=1}
, dan itu terdapat sebuah rumus produk
ζ
(
s
)
=
∏
p
1
1
−
p
−
s
{\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}
untuk
Re
(
s
)
>
1
{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}
. Rumus produk ini mengikuti dari adanya faktorisasi bilangan prima tunggal dari bilangan bulat, dan menunjukkan bahwa
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
tidak pernah nol di daerah ini, jadi logaritmanya didefinisikan di sana dan
log
ζ
(
s
)
=
−
∑
p
log
(
1
−
p
−
s
)
=
∑
p
,
n
p
−
n
s
n
{\displaystyle \log \zeta (s)=-\sum _{p}\log \left(1-p^{-s}\right)=\sum _{p,n}{\frac {p^{-ns}}{n}}}
.
Tulis
s
=
x
+
i
y
{\displaystyle s=x+iy}
, lalu
|
ζ
(
x
+
i
y
)
|
=
exp
(
∑
n
,
p
cos
n
y
log
p
n
p
n
x
)
{\displaystyle {\big |}\zeta (x+iy){\big |}=\exp \left(\sum _{n,p}{\frac {\cos ny\log p}{np^{nx}}}\right)}
.
Sekarang mengamati identitas
3
+
4
cos
ϕ
+
cos
2
ϕ
=
2
(
1
+
cos
ϕ
)
2
≥
0
{\displaystyle 3+4\cos \phi +\cos 2\phi =2(1+\cos \phi )^{2}\geq 0}
,
sehingga
|
ζ
(
x
)
3
ζ
(
x
+
i
y
)
4
ζ
(
x
+
2
i
y
)
|
=
exp
(
∑
n
,
p
3
+
4
cos
(
n
y
log
p
)
+
cos
(
2
n
y
log
p
)
n
p
n
x
)
≥
1
{\displaystyle \left|\zeta (x)^{3}\zeta (x+iy)^{4}\zeta (x+2iy)\right|=\exp \left(\sum _{n,p}{\frac {3+4\cos(ny\log p)+\cos(2ny\log p)}{np^{nx}}}\right)\geq 1}
untuk semua
x
>
1
{\displaystyle x>1}
. Misalkan bahwa
ζ
(
1
+
i
y
)
=
0
{\displaystyle \zeta (1+iy)=0}
. Tentu saja
y
{\displaystyle y}
bukan nol, karena
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
memiliki sebuah kutub sederhana pada
s
=
1
{\displaystyle s=1}
. Misalkan bahwa
x
>
1
{\displaystyle x>1}
dan misalkan
x
{\displaystyle x}
cenderung ke
1
{\displaystyle 1}
dari atas. Karena
ζ
(
s
)
{\displaystyle \zeta (s)}
adalah sebuah kutub sederhana pada
s
=
1
{\displaystyle s=1}
dan
ζ
(
x
+
2
i
y
)
{\displaystyle \zeta (x+2iy)}
tetap analitik, sisi kiri di pertidaksamaan sebelumnya cenderung ke
0
{\displaystyle 0}
, sebuah kontradiksi.
Terakhir, kita bisa menyimpulkan bahwa TBP secara heuristik benar. Untuk menyelesaikan bukti dengan teliti, masih ada teknik-teknik yang serius untuk diatasi, karena faktanya bahwa penjumlahan pada nol zeta dalam rumus eksplisit untuk
ψ
(
x
)
{\displaystyle \psi (x)}
tidak konvergen sepenuhnya tetapi hanya bersyarat dan dalam sebuah arti "nilai utama". Terdapat beberapa cara di sekitar masalah ini tapi banyak dari mereka membutuhkan perkiraan analisis kompleks yang agak rumit. Buku Edward menyediakan detailnya. Metode lainnya adalah menggunakan
Teorema Tauberian Ikehara, meskipun
Teorema ini sendiri cukup sulit untuk membuktikan. D. J. Newman mengamati bahwa kekuatan penuh dari
Teorema Ikehara tidak dibutuhkan untuk
Teorema bilangan prima, dan salah satunya bisa lolos dengan sebuah kasus spesial yang jauh lebih mudah untuk membuktikan.
Bukti Newman tentang TBP
Fungsi Chebyshev pertama dan kedua masing-masing
ψ
(
x
)
=
∑
k
≥
1
∑
p
k
≤
x
log
p
dan
ϑ
(
x
)
=
∑
p
≤
x
log
p
.
{\displaystyle \psi (x)=\sum _{k\geq 1}\sum _{p^{k}\leq x}\log p\quad {\text{ dan }}\quad \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p.}
Deret kedua diperoleh dengan menjatuhkan suku-suku dengan
k
≥
2
{\displaystyle k\geq 2}
dari yang pertama. TBP setara dengan
lim
x
→
∞
ψ
(
x
)
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\psi (x)}{x}}=1}
atau
lim
x
→
∞
ϑ
(
x
)
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\vartheta (x)}{x}}=1}
.
Jumlah untuk adalah
ψ
{\displaystyle \psi }
dan
ϑ
{\displaystyle \vartheta }
jumlah parsial dari koefisien dari deret Dirichlet
−
ζ
′
(
s
)
ζ
(
s
)
=
∑
k
≥
1
∑
p
k
≤
x
log
p
p
−
k
s
dan
Φ
(
s
)
=
∑
p
≤
x
log
p
p
−
s
{\displaystyle -{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)}}=\sum _{k\geq 1}\sum _{p^{k}\leq x}\log p\,\,p^{-ks}\quad {\text{ dan }}\quad \quad \Phi (s)=\sum _{p\leq x}\log p\,\,p^{-s}}
,
dimana
ζ
{\displaystyle \zeta }
adalah fungsi zeta Riemann. Seperti jumlah parisal, deret kedua diperoleh dengan menjatuhkan suku-suku dengan
k
≥
2
{\displaystyle k\geq 2}
dari yang pertama. Deret Dirichlet dibentuk oleh suku-suku dengan
k
≥
2
{\displaystyle k\geq 2}
didominasi oleh deret Dirichlet untuk
ζ
(
2
s
+
ε
)
{\displaystyle \zeta (2s+\varepsilon )}
untuk setiap positif
ε
{\displaystyle \varepsilon }
, jadi turunan logaritmik
ζ
{\displaystyle \zeta }
dan
Φ
(
s
)
{\displaystyle \Phi (s)}
berbeda dengan sebuah holomorfik fungsi dalam
ℜ
s
>
1
2
{\displaystyle \Re s>{\frac {1}{2}}}
, dan oleh karena itu memiliki singularitas yang sama pada garis
ℜ
s
=
1
{\displaystyle \Re s=1}
.
Mengintegrasi dengan bagian diberikan untuk
ℜ
s
>
1
{\displaystyle \Re s>1}
,
Φ
(
s
)
=
∫
1
∞
x
−
s
d
ϑ
(
x
)
=
s
∫
1
∞
ϑ
(
x
)
x
−
s
−
1
d
x
=
s
∫
0
∞
ϑ
(
e
t
)
e
−
s
t
d
t
{\displaystyle \Phi (s)=\int _{1}^{\infty }x^{-s}d\vartheta (x)=s\int _{1}^{\infty }\vartheta (x)x^{-s-1}\,dx=s\int _{0}^{\infty }\vartheta (e^{t})e^{-st}\,dt}
.
Semua bukti-bukti analitik dari TBP menggunakan fakta bahwa
ζ
{\displaystyle \zeta }
tidak memiliki nol pada garis
ℜ
s
=
1
{\displaystyle \Re s=1}
. Satu informasi lebih lanjut dalam pembuktian Newman adalah
ϑ
(
x
)
x
{\displaystyle {\frac {\vartheta (x)}{x}}}
dibatasi, Ini bisa dengan mudah membuktikan metode-metode dasar.
Metode Newman membuktikan TBP dengan menunjukkan integral
Φ
(
s
)
=
∫
1
∞
x
−
s
d
ϑ
(
x
)
=
s
∫
1
∞
ϑ
(
x
)
x
−
s
−
1
d
x
=
s
∫
0
∞
ϑ
(
e
t
)
e
−
s
t
d
t
{\displaystyle \Phi (s)=\int _{1}^{\infty }x^{-s}d\vartheta (x)=s\int _{1}^{\infty }\vartheta (x)x^{-s-1}\,dx=s\int _{0}^{\infty }\vartheta (e^{t})e^{-st}\,dt}
konvergen, dan karena itu integrand tersebut menuju nol karena
t
→
∞
{\displaystyle t\to \infty }
. Secara umum, konvergensi dari integral takwajar tidak menyiratkan bahwa integrand menuju nol, karena itu mungkin berosilasi, tetapi karena
ϑ
{\displaystyle \vartheta }
meningkat, itu mudah untuk ditampilkan dalam kasus ini.
Untuk
ℜ
s
>
0
{\displaystyle \Re s>0}
, misalkan
g
T
(
z
)
=
∫
0
T
(
ϑ
(
e
t
)
e
t
−
1
)
e
−
z
t
d
t
{\displaystyle g_{T}(z)=\int _{0}^{T}\left({\frac {\vartheta (e^{t})}{e^{t}}}-1\right)e^{-zt}\,dt\quad \quad }
maka
lim
T
→
∞
g
T
(
z
)
=
g
(
z
)
=
Φ
(
s
)
s
−
1
s
−
1
dimana
z
=
s
−
1
{\displaystyle \lim _{T\to \infty }g_{T}(z)=g(z)={\frac {\Phi (s)}{s}}-{\frac {1}{s-1}}\quad \quad {\text{dimana}}\quad z=s-1}
yang holomorfik pada garis
ℜ
z
=
0
{\displaystyle \Re z=0}
. Konvergensi dari integral
I
{\displaystyle I}
dibuktikan dengan menunjukkan bahwa
lim
T
→
∞
g
T
(
0
)
=
g
(
0
)
{\displaystyle \lim _{T\to \infty }g_{T}(0)=g(0)}
. Ini melibatkan perubahan urutan limit karena itu dapat ditulis sebagai
lim
T
→
∞
lim
s
→
0
g
T
(
z
)
=
lim
s
→
0
lim
T
→
∞
g
T
(
z
)
{\displaystyle \lim _{T\to \infty }\lim _{s\to 0}g_{T}(z)=\lim _{s\to 0}\lim _{T\to \infty }g_{T}(z)}
dan karena itu digolongkan sebagai teorema Tauberian.
Selisih
g
(
0
)
−
g
T
(
0
)
{\displaystyle g(0)-g_{T}(0)}
diekspresikan dengan menggunakan rumus integral Cauchy dan kemudian taksirannya diterapkan ke integral. Tetapkan
R
>
0
{\displaystyle R>0}
dan
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
, seperti
g
(
z
)
{\displaystyle g(z)}
holomorfik dalam daerah dimana
|
z
|
≤
R
{\displaystyle \left|z\right|\leq R}
dan
ℜ
z
>
−
δ
{\displaystyle \Re z>-\delta }
dan misalkan
C
{\displaystyle C}
menjadi batasnya. Karena
0
{\displaystyle 0}
ada di bagian dalam, rumus integral Cauchy memberikan
g
(
0
)
−
g
T
(
0
)
=
1
2
π
i
∫
C
(
g
(
z
)
−
g
T
(
z
)
)
d
z
z
{\displaystyle g(0)-g_{T}(0)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\left(g(z)-g_{T}(z)\right){\frac {dz}{z}}}
.
Untuk mendapatkan sebuah taksiran kasar pada integrand, misalkan
B
{\displaystyle B}
menjadi sebuah batas atas untuk
ϑ
(
e
t
)
e
t
−
1
{\displaystyle {\frac {\vartheta (e^{t})}{e^{t}}}-1}
, maka untuk
ℜ
z
>
0
{\displaystyle \Re z>0}
|
g
(
z
)
−
g
T
(
z
)
|
≤
B
∫
T
∞
e
−
ℜ
(
z
)
t
d
t
=
B
e
−
ℜ
(
z
)
T
ℜ
z
.
{\displaystyle |g(z)-g_{T}(z)|\leq B\int _{T}^{\infty }e^{-\Re (z)t}\,dt={\frac {Be^{-\Re (z)T}}{\Re z}}.}
Batas ini tidak cukup baik untuk membuktikan hasil tersebut, namun Newman memperkenalkan faktor
F
(
z
)
=
e
z
T
(
1
+
z
2
R
2
)
{\displaystyle F(z)=e^{zT}\left(1+{\frac {z^{2}}{R^{2}}}\right)}
menjadi integrand untuk
g
(
0
)
−
g
T
(
0
)
{\displaystyle g(0)-g_{T}(0)}
. Karena faktor Newman
F
{\displaystyle F}
adalah menyeluruh dan
F
(
0
)
=
1
{\displaystyle F(0)=1}
, ruas kiri tetap tidak berubah. Sekarang taksiran di atas untuk
|
g
(
z
)
−
g
T
(
z
)
|
{\displaystyle \left|g(z)-g_{T}(z)\right|}
dan taksiran pada
F
{\displaystyle F}
menggabungkan untuk diberikan
|
1
2
π
i
∫
C
+
(
g
(
z
)
−
g
T
(
z
)
)
F
(
z
)
d
z
z
|
≤
B
R
{\displaystyle \left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{+}}\left(g(z)-g_{T}(z)\right)F(z){\frac {dz}{z}}\right|\leq {\frac {B}{R}}}
.
dimana
C
+
{\displaystyle C_{+}}
adalah setengah lingkaran
C
∪
{
z
∣
ℜ
z
>
0
}
{\displaystyle C\cup \{z\mid \Re z>0\}}
Misalkan
C
−
{\displaystyle C_{-}}
menjadi kontur
C
∩
{
ℜ
z
≤
0
}
{\displaystyle C\cap \{\Re z\leq 0\}}
. Fungsi
g
T
{\displaystyle g_{T}}
adalah menyeluruh, jadi dengan menggunakan
Teorema integral Cauchy, kontur
C
{\displaystyle C}
dapat dimodifikasi ke sebuah setengah lingkaran dari jari-jari
R
{\displaystyle R}
dalam kiri setengah bidang tanpa mengubah integral
g
T
(
z
)
F
(
z
)
2
π
i
z
{\displaystyle {\frac {g_{T}(z)F(z)}{2\pi iz}}}
, dan argumen yang sama memberikan nilai mutlak dari integral ini sebagai
≤
B
R
{\displaystyle \leq {\frac {B}{R}}}
. Akhirnya, dengan memisalkan
T
→
∞
{\displaystyle T\to \infty }
, integral
g
T
(
z
)
F
(
z
)
z
{\displaystyle {\frac {g_{T}(z)F(z)}{z}}}
pada kontur
C
δ
{\displaystyle C_{\delta }}
menuju nolkarena
F
{\displaystyle F}
menuju nol pada kontur. Menggabungkan tiga taksiran, mendapatkan
lim sup
T
→
∞
|
g
(
0
)
−
g
T
(
0
)
|
≤
2
B
R
{\displaystyle \limsup _{T\to \infty }|g(0)-g_{T}(0)|\leq {\frac {2B}{R}}}
.
Ini berlaku untuk setiap
R
{\displaystyle R}
sehingga
lim
T
→
∞
g
T
(
0
)
=
g
(
0
)
{\displaystyle \lim _{T\to \infty }g_{T}(0)=g(0)}
, dan TBP berikut.
Sebagai akibat dari teorema bilangan prima, salah satunya mendapatkan sebuah ekspresi asimtotik untuk bilangan prima ke-
n
{\displaystyle n}
, yang dilambangkan sebagai
p
n
{\displaystyle p_{n}}
. Ekspresiny yaitu:
p
n
∼
n
log
n
{\displaystyle p_{n}\sim n\log n}
.
Sebuah aproksimasi yang lebih baik adalah
p
n
n
=
ln
n
+
ln
ln
n
−
1
+
ln
ln
n
−
2
ln
n
−
(
ln
ln
n
)
2
−
6
ln
ln
n
+
11
2
(
ln
n
)
2
+
O
(
1
(
ln
n
)
2
)
{\displaystyle {\frac {p_{n}}{n}}=\ln n+\ln \ln n-1+{\frac {\ln \ln n-2}{\ln n}}-{\frac {(\ln \ln n)^{2}-6\ln \ln n+11}{2(\ln n)^{2}}}+O\left({\frac {1}{(\ln n)^{2}}}\right)}
.
Teorema Rosser menyatakan bahwa
p
n
>
n
ln
n
{\displaystyle p_{n}>n\ln n}
.
Ini dapat diperbaiki dengan mengikuti sepasang batas berikut.
Tabel
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
,
x
ln
x
{\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}
, dan
li
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {li} (x)}
Tabel tersebut membandingkan nilai eksak
π
(
x
)
{\displaystyle \pi (x)}
dengan aproksimasi
x
ln
x
{\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}
dan
li
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {li} (x)}
. Di kolom terakhir,
x
π
(
x
)
{\displaystyle {\frac {x}{\pi (x)}}}
, adalah rata-rata celah
bilangan prima di bawah
x
{\displaystyle x}
.
Nilai untuk
π
(
10
24
)
{\displaystyle \pi (10^{24})}
dihitung dengan asumsi hipotesis Riemann; maka hal itu telah diverifikasi tanpa syarat.
Analog dari polinomial yang taktereduksi lagi pada sebuah medan berhingga
Ada sebuah analog dari
Teorema bilangan prima yang menggambarkan bahwa polinomial taktereduksi "distribusi" pada sebuah medan berhingga terbatas, bentuknya sangat mirip dengan kasus
Teorema bilangan prima klasik. yang
Untuk menyatakannya dengan tepat, misalkan
F
=
GF
(
q
)
{\displaystyle F=\operatorname {GF} (q)}
menjadi medan berhingga dengan anggota
q
{\displaystyle q}
, dan misalkan
N
n
{\displaystyle N_{n}}
menjadi
bilangan polinomial taktereduksi monik pada
F
{\displaystyle F}
yang derajatnya sama dengan
n
{\displaystyle n}
. Artinya, kita sedang melihat pada polinomial yang koefisiennya terpilih dari
F
{\displaystyle F}
, yang tidak bisa ditulis sebagai produk polinomial derajat lebih kecil. Dalam pengaturan ini, polinomial ini memainkan peran dari
bilangan prima, karena semua polinomial monik lainnya dibangun dari produk mereka. Salah satunya kemudian membuktikan bahwa
N
n
∼
q
n
n
{\displaystyle N_{n}\sim {\frac {q^{n}}{n}}}
.
Jika kita membuat substitusi
x
=
q
n
{\displaystyle x=q^{n}}
, maka di ruas kanan hanya
x
log
q
x
{\displaystyle {\frac {x}{\log _{q}x}}}
,
yang membuat analognya lebih jelas. Karena tepatnya ada polinomial monik
q
n
{\displaystyle q^{n}}
derajat
n
{\displaystyle n}
(termasuk yang dapat direduksi), ini dapat diungkapkan ulang sebagai berikut: jika sebuah polinomial monik derajat
n
{\displaystyle n}
dipilih secara acak, maka kemungkinan tersebut tidaktereduksi sekitar
1
n
{\displaystyle {\frac {1}{n}}}
.
Salah satunya bisa membuktikan sebuah analog dari hipotesis Riemann, yaitu
N
n
=
q
n
n
+
O
(
q
n
2
n
)
{\displaystyle N_{n}={\frac {q^{n}}{n}}+O\left({\frac {q^{\frac {n}{2}}}{n}}\right)}
.
Bukti dari pernyataan-pernyataan ini jauh lebih sederhana daripada dalam kasus klasik. Ini melibatkan argumen kombinatorika singkat, diringkas sebagai berikut: setiap anggota dari derajat
n
{\displaystyle n}
ekstensi
F
{\displaystyle F}
adalah sebuah akar dari beberapa polinomial taktereduksi yang derajat
d
{\displaystyle d}
membagi
n
{\displaystyle n}
, dengan menghitung akar-akar ini dalam dua cara yang berbeda salah satunya menetapkan bahwa
q
n
=
∑
d
∣
n
d
N
d
{\displaystyle q^{n}=\sum _{d\mid n}dN_{d}}
,
dimana jumlah pada semua pembagi
d
{\displaystyle d}
pada
n
{\displaystyle n}
. Invers Möbius kemudian menghasilkan
N
n
=
1
n
∑
d
∣
n
μ
(
n
d
)
q
d
,
{\displaystyle N_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)q^{d},}
dimana
μ
(
k
)
{\displaystyle \mu (k)}
adalah fungsi Möbius. (Rumus ini diketahui Gauss) Suku utama terjadi untuk
d
=
n
{\displaystyle d=n}
, dan ini tidak sulit untuk membatasi suku-suku yang tersisa. Pernyataan "hipotesis Riemann" tergantung pada fakta bahwa pembagi terbesar pada
n
{\displaystyle n}
tidak boleh lebih besar dari
n
2
{\displaystyle {\frac {n}{2}}}
.
Lihat pula
Hipotesis Riemann
Teorema ideal
bilangan prima Landau
Teori
bilangan analitik abstrak
Referensi
Pranala eksternal
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Distribution of prime numbers", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Tabel Primes oleh Anton Felkel.
Video pendek yang memvisualisasikan
Teorema bilangan Perdana.
Rumus
prima dan
Teorema bilangan prima di MathWorld.
Prime number theorem, PlanetMath.org.
Ada Berapa Banyak Primes? dan The Gaps between Primes oleh Chris Caldwell, University of Tennessee di Martin.
Tabel fungsi penghitungan utama oleh Tomás Oliveira e Silva
