• Source: Topologi produk

Dalam topologi dan bidang terkait matematika, ruang produk adalah produk Cartesius dari keluarga ruang topologi yang dilengkapi dengan topologi alami yang disebut topologi produk. Topologi ini berbeda dari topologi lain, yang mungkin lebih jelas, yang disebut topologi kotak, yang juga dapat diberikan pada ruang produk dan yang sesuai dengan topologi produk ketika produk hanya memiliki banyak ruang yang terbatas. Namun, topologi produk "benar" karena membuat ruang produk menjadi produk kategoris dari faktor-faktornya, sedangkan topologi kotak terlalu baik; dalam arti topologi produk adalah topologi alami pada produk Cartesius.




Definisi


Diberikan X, juga dikenal sebagai ruang produk, sedemikian rupa




X
:=

∏

i
∈
I



X

i


=

X

0


×

X

1


⋯
×

X

i




{\displaystyle X:=\prod _{i\in I}X_{i}=X_{0}\times X_{1}\dots \times X_{i}}


adalah produk Cartesius dari ruang topologi Xi, indeks oleh



i
∈
I


{\displaystyle i\in I}

dan proyeksi kanonik pi : X → Xi topologi produk pada X didefinisikan sebagai topologi paling kasar (mis. topologi dengan set terbuka paling sedikit) yang semua proyeksi pi kontinu. Topologi produk kadang-kadang disebut topologi Tychonoff.
Set terbuka dalam topologi produk adalah serikat (terbatas atau tak terbatas) dari set formulir




∏

i
∈
I



U

i




{\displaystyle \prod _{i\in I}U_{i}}

, dimana masing-masing Ui adalah terbuka di Xi and Ui ≠ Xi hanya untuk banyak i. Khususnya, untuk produk yang terbatas (khususnya, untuk produk dari dua ruang topologis), himpunan semua produk Cartesius antara satu elemen dasar dari masing-masing Xi memberikan dasar untuk topologi produk




∏

i
∈
I



X

i




{\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}

. Yaitu, untuk produk yang terbatas, himpunan semua




∏

i
∈
I



U

i




{\displaystyle \prod _{i\in I}U_{i}}

, di mana




U

i




{\displaystyle U_{i}}

adalah elemen dasar (dipilih) dari




X

i




{\displaystyle X_{i}}

, adalah dasar untuk topologi produk




∏

i
∈
I



X

i




{\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}

.
Topologi produk pada X adalah topologi yang dihasilkan oleh set formulir pi−1(Ui), di mana i ada di I dan Ui adalah subset terbuka dari X i. Dengan kata lain, set {pi−1 (Ui)} membentuk subbasis untuk topologi pada X. Subset X terbuka jika dan hanya jika itu adalah (mungkin tak terbatas) persilangan persimpangan dari banyak kumpulan bentuk pi−1(Ui). pi−1(Ui) kadang-kadang disebut silinder terbuka, dan persimpangan mereka adalah set silinder.
Secara umum, produk dari topologi masing-masing Xi membentuk dasar untuk apa yang disebut topologi kotak pada X. Secara umum, topologi kotak lebih baik daripada topologi produk, tetapi untuk produk terbatas mereka bertepatan.




Referensi


Willard, Stephen (1970). General Topology. Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0486434796. Diakses tanggal 13 February 2013.




Pranala luar


product topology, PlanetMath.org.

Kata Kunci Pencarian:

• Topologi produk
• Produk langsung
• Produk (teori kategori)
• Ruang vektor topologis
• Daftar topik topologi aljabar
• Keragaman topologi
• Produk Cartesius
• Grup topologi
• Monoid (teori kategori)
• Topologi operator lemah