Dalam
Topologi dan bidang terkait matematika, ruang
produk adalah
produk Cartesius dari keluarga ruang
Topologi yang dilengkapi dengan
Topologi alami yang disebut
Topologi produk.
Topologi ini berbeda dari
Topologi lain, yang mungkin lebih jelas, yang disebut
Topologi kotak, yang juga dapat diberikan pada ruang
produk dan yang sesuai dengan
Topologi produk ketika
produk hanya memiliki banyak ruang yang terbatas. Namun,
Topologi produk "benar" karena membuat ruang
produk menjadi
produk kategoris dari faktor-faktornya, sedangkan
Topologi kotak terlalu baik; dalam arti
Topologi produk adalah
Topologi alami pada
produk Cartesius.
Definisi
Diberikan X, juga dikenal sebagai ruang
produk, sedemikian rupa
X
:=
∏
i
∈
I
X
i
=
X
0
×
X
1
⋯
×
X
i
{\displaystyle X:=\prod _{i\in I}X_{i}=X_{0}\times X_{1}\dots \times X_{i}}
adalah
produk Cartesius dari ruang
Topologi Xi, indeks oleh
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
dan proyeksi kanonik pi : X → Xi
Topologi produk pada X didefinisikan sebagai
Topologi paling kasar (mis.
Topologi dengan set terbuka paling sedikit) yang semua proyeksi pi kontinu.
Topologi produk kadang-kadang disebut
Topologi Tychonoff.
Set terbuka dalam
Topologi produk adalah serikat (terbatas atau tak terbatas) dari set formulir
∏
i
∈
I
U
i
{\displaystyle \prod _{i\in I}U_{i}}
, dimana masing-masing Ui adalah terbuka di Xi and Ui ≠ Xi hanya untuk banyak i. Khususnya, untuk
produk yang terbatas (khususnya, untuk
produk dari dua ruang topologis), himpunan semua
produk Cartesius antara satu elemen dasar dari masing-masing Xi memberikan dasar untuk
Topologi produk
∏
i
∈
I
X
i
{\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}
. Yaitu, untuk
produk yang terbatas, himpunan semua
∏
i
∈
I
U
i
{\displaystyle \prod _{i\in I}U_{i}}
, di mana
U
i
{\displaystyle U_{i}}
adalah elemen dasar (dipilih) dari
X
i
{\displaystyle X_{i}}
, adalah dasar untuk
Topologi produk
∏
i
∈
I
X
i
{\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}
.
Topologi produk pada X adalah
Topologi yang dihasilkan oleh set formulir pi−1(Ui), di mana i ada di I dan Ui adalah subset terbuka dari X i. Dengan kata lain, set {pi−1 (Ui)} membentuk subbasis untuk
Topologi pada X. Subset X terbuka jika dan hanya jika itu adalah (mungkin tak terbatas) persilangan persimpangan dari banyak kumpulan bentuk pi−1(Ui). pi−1(Ui) kadang-kadang disebut silinder terbuka, dan persimpangan mereka adalah set silinder.
Secara umum,
produk dari
Topologi masing-masing Xi membentuk dasar untuk apa yang disebut
Topologi kotak pada X. Secara umum,
Topologi kotak lebih baik daripada
Topologi produk, tetapi untuk
produk terbatas mereka bertepatan.
Referensi
Willard, Stephen (1970). General Topology. Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0486434796. Diakses tanggal 13 February 2013.
Pranala luar
product topology, PlanetMath.org.