Dalam matematika, khususnya teori himpunan,
Produk Cartesius dari dua himpunan A dan B, dilambangkan A × B, adalah himpunan semua pasangan terurut (a, b) di mana a berada di A dan b berada di B. Dalam notasi pembentuk himpunan dapat dinyatakan sebagai
A
×
B
=
{
(
a
,
b
)
∣
a
∈
A
dan
b
∈
B
}
.
{\displaystyle A\times B=\{\,(a,b)\mid a\in A\ {\mbox{ dan }}\ b\in B\,\}.}
Suatu tabel dapat dibuat dengan mengambil
Produk Cartesius dari suatu himpunan baris dan suatu himpunan kolom. Jika
Produk Cartesius baris × kolom diambil, sel-sel tabel berisi pasangan terurut dalam bentuk (nilai baris, nilai kolom).
Dengan cara yang sama,
Produk Cartesius dari n himpun, juga dikenal sebagai
Produk Cartesius n-lipat, yang dapat diwakili oleh himpunan n-dimensi, di mana setiap elemen adalah n-tuple. Pasangan yang dipesan adalah 2-tupel atau pasangan. Lebih umum lagi, kita dapat mendefinisikan
Produk Cartesius dari kumpulan set yang diindeks.
Produk Cartesius dinamai dari René Descartes, yang formulasi geometri analitiknya memunculkan konsep, yang selanjutnya digeneralisasikan dalam hal
Produk langsung.
Contoh
= Setumpuk kartu
=
Contoh ilustrasinya adalah setumpuk 52 kartu standar. kartu bermain standar peringkat {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} membentuk himpunan 13 elemen. Kartu ini cocok dengan {♠, ♥, ♦, ♣} membentuk himpunan empat elemen. Hasil kali Cartesian dari set ini mengembalikan set 52 elemen yang terdiri dari 52 pasangan terurut, yang sesuai dengan semua 52 kemungkinan kartu remi.
Ranks × Sets mengembalikan satu himpunan formulir {(A, ♠), (A, ♥), (A, ♦), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, ♥), (2, ♦), (2, ♣)}.
Sets × Ranks returns a set of the form {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}.
Kedua set ini berbeda, bahkan terputus-putus.
= Sistem koordinat dua dimensi
=
Contoh sejarah utama adalah bidang
Cartesius dalam geometri analitik. Untuk merepresentasikan bentuk geometris dengan cara numerik, dan mengekstrak informasi numerik dari representasi numerik bentuk, René Descartes menetapkan pasangan bilangan real pada setiap titik di bidang, yang disebut koordinat. Biasanya, komponen pasangan pertama dan kedua masing-masing disebut koordinat x dan y (lihat gambar). Himpunan dari semua pasangan seperti itu (yaitu, hasil kali
Cartesius ℝ×ℝ, dengan ℝ menunjukkan bilangan riil) dengan demikian ditetapkan ke himpunan semua titik di bidang.
Implementasi paling umum (teori himpunan)
Definisi formal
Produk Cartesian dari prinsip teori himpunan mengikuti dari definisi pasangan terurut. Definisi paling umum dari pasangan terurut, Definisi Kuratowski adalah
(
x
,
y
)
=
{
{
x
}
,
{
x
,
y
}
}
{\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}
. Di bawah ini pada terdapat definisi
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
adalah elemen dari
P
(
P
(
X
∪
Y
)
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}
, dan
X
×
Y
{\displaystyle X\times Y}
adalah bagian dari himpunan itu, di mana
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
mewakili operator set daya. Oleh karena itu, keberadaan perkalian
Cartesius dari dua himpunan manapun di ZFC mengikuti aksioma pemasangan, serikat, himpunan daya, dan spesifikasi. Karena fungsi biasanya didefinisikan sebagai kasus khusus dari hubungan, dan hubungan biasanya didefinisikan sebagai himpunan bagian dari
Produk Cartesius, definisi dari perkalian dua himpunan Cartesian harus sebelum sebagian besar definisi lainnya.
Non-komutatif dan non-asosiatif
Karena A, B, C, dan D menjadi himpunan
Produk.
Produk Cartesius A×B bukan termasuk komutatif,
A
×
B
≠
B
×
A
,
{\displaystyle A\times B\neq B\times A,}
karena pasangan terurut dibalik kecuali setidaknya satu dari kondisi berikut terpenuhi:
A sama dengan B , atau
A dan B adalah himpunan kosong.
Sebagai contoh:
A = {1,2}; B = {3,4}
A × B = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}
B × A = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}
A = B = {1,2}
A × B = B × A = {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}
A = {1,2}; B = ∅
A × B = {1,2} × ∅ = ∅
B × A = ∅ × {1,2} = ∅
Sebenarnya,
Produk Cartesius bukanlah asosiatif (kecuali salah satu set yang terlibat kosong).
(
A
×
B
)
×
C
≠
A
×
(
B
×
C
)
{\displaystyle (A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)}
Kalau contohnya A = {1}, maka (A × A) × A = { ((1,1),1) } ≠ { (1,(1,1)) } = A × (A × A).
Irisan, gabungan, dan himpunan bagian
Produk Cartesian memenuhi properti berikut sehubungan dengan irisan (lihat gambar tengah).
(
A
∩
B
)
×
(
C
∩
D
)
=
(
A
×
C
)
∩
(
B
×
D
)
{\displaystyle (A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)}
Dalam kebanyakan kasus, pernyataan di atas tidak benar jika kita mengganti interseksi dengan gabungan (lihat gambar paling kanan).
(
A
∪
B
)
×
(
C
∪
D
)
≠
(
A
×
C
)
∪
(
B
×
D
)
{\displaystyle (A\cup B)\times (C\cup D)\neq (A\times C)\cup (B\times D)}
Faktanya, kami memiliki:
(
A
×
C
)
∪
(
B
×
D
)
=
[
(
A
∖
B
)
×
C
]
∪
[
(
A
∩
B
)
×
(
C
∪
D
)
]
∪
[
(
B
∖
A
)
×
D
]
{\displaystyle (A\times C)\cup (B\times D)=[(A\setminus B)\times C]\cup [(A\cap B)\times (C\cup D)]\cup [(B\setminus A)\times D]}
Untuk perbedaan set, kami juga memiliki identitas berikut:
(
A
×
C
)
∖
(
B
×
D
)
=
[
A
×
(
C
∖
D
)
]
∪
[
(
A
∖
B
)
×
C
]
{\displaystyle (A\times C)\setminus (B\times D)=[A\times (C\setminus D)]\cup [(A\setminus B)\times C]}
Berikut adalah beberapa aturan yang menunjukkan distribusi dengan operator lain (lihat gambar paling kiri):
A
×
(
B
∩
C
)
=
(
A
×
B
)
∩
(
A
×
C
)
,
A
×
(
B
∪
C
)
=
(
A
×
B
)
∪
(
A
×
C
)
,
A
×
(
B
∖
C
)
=
(
A
×
B
)
∖
(
A
×
C
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}A\times (B\cap C)&=(A\times B)\cap (A\times C),\\A\times (B\cup C)&=(A\times B)\cup (A\times C),\\A\times (B\setminus C)&=(A\times B)\setminus (A\times C),\end{aligned}}}
(
A
×
B
)
∁
=
(
A
∁
×
B
∁
)
∪
(
A
∁
×
B
)
∪
(
A
×
B
∁
)
,
{\displaystyle (A\times B)^{\complement }=\left(A^{\complement }\times B^{\complement }\right)\cup \left(A^{\complement }\times B\right)\cup \left(A\times B^{\complement }\right),}
dimana
A
∁
{\displaystyle A^{\complement }}
menunjukkan pelengkap mutlak dari A.
Properti lain yang terkait dengan himpunan bagian adalah:
Bila
A
⊆
B
, maka
A
×
C
⊆
B
×
C
;
{\displaystyle {\text{Bila }}A\subseteq B{\text{, maka }}A\times C\subseteq B\times C;}
bila keduanya
A
,
B
≠
∅
, setelah itu
A
×
B
⊆
C
×
D
⟺
A
⊆
C
dan
B
⊆
D
.
{\displaystyle {\text{bila keduanya }}A,B\neq \emptyset {\text{, setelah itu }}A\times B\subseteq C\times D\iff A\subseteq C{\text{ dan }}B\subseteq D.}
Kardinalitas
Kardinalitas dari suatu himpunan adalah jumlah elemen dari himpunan tersebut. Misalnya, mendefinisikan dua himpunan: A = {a, b} dan B = {5, 6}. Kedua himpunan A dan himpunan B masing-masing terdiri dari dua elemen.
Produk Cartesian mereka, ditulis sebagai A × B, menghasilkan himpunan baru yang memiliki elemen berikut:
A × B = {(a,5), (a,6), (b,5), (b,6)}.
di mana setiap elemen A dipasangkan dengan setiap elemen B , dan di mana setiap pasangan membentuk satu elemen himpunan keluaran.
Jumlah nilai di setiap elemen dari himpunan yang dihasilkan sama dengan jumlah himpunan yang
Produk Kartesiannya diambil; 2 dalam kasus ini.
Kardinalitas dari himpunan keluaran sama dengan hasil perkalian dari kardinalitas dari semua himpunan masukan. Maka rumusnya adalah,
|A × B| = |A| · |B|.
Pada kasus ini, |A × B| = 4
sama halnya
|A × B × C| = |A| · |B| · |C|
and so on.
Himpunan A × B adalah himpunan tak hingga dari A atau B pada bilangan tak hingga, dan himpunan lainnya yang bukan termasuk himpunan kosong.
Lihat pula
Relasi biner
Penggabungan kumpulan string
Produk gabungan
Produk silang
Produk langsung dari grup
Produk kosong
Ruang Euklides
Objek eksponensial
Relasi finiter
Gabungan (SQL)§Gabung silang
Pesanan pada
Produk Cartesius dari himpunan yang dipesan seluruhnya
Aksioma himpunan daya#Konsekuensi Aksioma himpunan daya (untuk membuktikan keberadaan
Produk Cartesius)
Produk (teori kategori)
Topologi
Produk
Tipe
Produk
Ultraproduk
Referensi
Pranala luar
Cartesian Product at ProvenMath
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Direct product", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
How to find the Cartesian Product, Education Portal Academy
