Bagian dalam (topologi) GudangMovies21 Rebahinxxi LK21

    Dalam matematika, terutama dalam topologi, bagian dalam (atau interior) dari suatu himpunan bagian



    H


    {\displaystyle H}

    pada ruang topologis



    X


    {\displaystyle X}

    adalah gabungan dari semua himpunan bagian dari



    H


    {\displaystyle H}

    yang terbuka pada



    X


    {\displaystyle X}

    . Suatu titik yang berada pada interior dari



    H


    {\displaystyle H}

    disebut sebagai titik interior (atau titik dalam) dari



    H


    {\displaystyle H}

    .
    Interior dari



    H


    {\displaystyle H}

    merupakan komplemen dari penutup komplemen dari



    H


    {\displaystyle H}

    . Melalui hal ini, interior dan penutup merupakan konsep yang dual.
    Bagian luar (atau eksterior) dari himpunan



    H


    {\displaystyle H}

    adalah komplemen dari penutup



    H


    {\displaystyle H}

    , yaitu himpunan titik-titik yang tidak berada pada himpunan tersebut, maupun pada batas himpunannya. Interior, batas, dan eksterior dari suatu himpunan bagian bersama-sama mempartisi seluruh ruang menjadi tiga bagian (atau kurang, jika salah satunya kosong).
    Interior dan eksterior dari suatu kurva tertutup adalah konsep yang sedikit berbeda; lihat teorema kurva Jordan.


    Definisi




    = Titik interior

    =
    Jika



    H


    {\displaystyle H}

    merupakan himpunan bagian dari ruang Euklides, maka



    x


    {\displaystyle x}

    dikatakan sebagai titik interior dari



    H


    {\displaystyle H}

    jika terdapat bola terbuka yang berpusat pada



    x


    {\displaystyle x}

    dan termuat sepenuhnya pada



    H


    {\displaystyle H}

    . Ilustrasinya dapat dilihat pada bagian pendahuluan dari artikel ini.
    Definisi ini dapat diperumum untuk sembarang himpunan bagian



    H


    {\displaystyle H}

    pada suatu ruang metrik



    X


    {\displaystyle X}

    dengan metrik



    d


    {\displaystyle d}

    . Titik



    x


    {\displaystyle x}

    dikatakan sebagai titik interior jika terdapat suatu bilangan riil



    r
    >
    0


    {\displaystyle r>0}

    sedemikian sehingga



    a
    ∈
    H


    {\displaystyle a\in H}

    ketika jarak



    d
    (
    x
    ,

    a
    )
    <
    r


    {\displaystyle d(x,\,a)
    .
    Definisi ini dapat diperumum untuk ruang topologis dengan mengganti "bola terbuka" menjadi "himpunan terbuka". Jika



    H


    {\displaystyle H}

    merupakan himpunan bagian dari ruang topologis



    X


    {\displaystyle X}

    , maka



    x


    {\displaystyle x}

    dikatakan sebagai titik interior dari



    H


    {\displaystyle H}

    pada



    X


    {\displaystyle X}

    jika



    x


    {\displaystyle x}

    termuat pada suatu himpunan terbuka dari



    X


    {\displaystyle X}

    yang seluruhnya termuat pada



    H


    {\displaystyle H}

    . Secara ekuivalen,



    x


    {\displaystyle x}

    adalah titik interior dari



    H


    {\displaystyle H}

    jika



    H


    {\displaystyle H}

    merupakan persekitaran dari



    x


    {\displaystyle x}

    .


    = Interior dari suatu himpunan

    =
    Interior dari himpunan bagian



    H


    {\displaystyle H}

    pada suatu ruang topologis



    X


    {\displaystyle X}

    , ditulis sebagai




    int

    X


    ⁡
    H


    {\displaystyle \operatorname {int} _{X}H}

    atau



    int
    ⁡
    H


    {\displaystyle \operatorname {int} H}

    atau




    H

    ∘




    {\displaystyle H^{\circ }}

    , dapat didefinisikan melalui beberapa cara yang ekuivalen, diantaranya:




    int
    ⁡
    H


    {\displaystyle \operatorname {int} H}

    adalah himpunan bagian terbuka terbesar dari



    X


    {\displaystyle X}

    yang termuat pada



    H


    {\displaystyle H}

    .




    int
    ⁡
    H


    {\displaystyle \operatorname {int} H}

    adalah gabungan semua himpunan bagian terbuka dari



    X


    {\displaystyle X}

    yang termuat pada



    H


    {\displaystyle H}

    .




    int
    ⁡
    H


    {\displaystyle \operatorname {int} H}

    adalah himpunan semua titik interior dari



    H


    {\displaystyle H}

    .
    Jika ruang



    X


    {\displaystyle X}

    dapat dipahami dari konteks yang diberikan sebelumnya, notasi yang lebih pendek



    int
    ⁡
    H


    {\displaystyle \operatorname {int} H}

    lebih diminati daripada




    int

    X


    ⁡
    H


    {\displaystyle \operatorname {int} _{X}H}

    .


    = Contoh

    =

    Dalam setiap ruang, interior dari himpunan kosong ialah himpunan kosong.
    Dalam setiap ruang



    X


    {\displaystyle X}

    , jika



    H
    ⊆
    X


    {\displaystyle H\subseteq X}

    , maka



    int
    ⁡
    H
    ⊆
    H


    {\displaystyle \operatorname {int} H\subseteq H}

    .
    Jika



    X
    =


    {\displaystyle X=}






    R



    {\displaystyle \mathbb {R} }

    (dengan topologi baku), maka



    int


    (

    [

    0
    ,

    1

    ]

    )

    =

    (

    0
    ,

    1

    )



    {\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\left(0,\,1\right)}

    sedangkan interior dari himpunan bilangan rasional merupakan himpunan kosong. Secara simbolis, maka



    int
    ⁡

    Q

    =
    ∅


    {\displaystyle \operatorname {int} \mathbb {Q} =\varnothing }

    .
    Jika



    X
    =


    {\displaystyle X=}






    C



    {\displaystyle \mathbb {C} }

    , maka



    int


    (

    {

    z
    ∈

    C

    :

    |
    z
    |

    ≤
    1

    }

    )

    =

    {

    z
    ∈

    C

    :

    |
    z
    |

    <
    1

    }



    {\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left\{z\in \mathbb {C} :\left|z\right|\leq 1\right\}\right)=\left\{z\in \mathbb {C} :\left|z\right|<1\right\}}

    .
    Dalam setiap ruang Euklides, interior dari sembarang himpunan hingga merupakan himpunan kosong.
    Dalam himpunan semua bilangan riil, dapat digunakan beberapa topologi lain (selain topologi baku), diantaranya:

    Jika digunakan topologi limit bawah, maka



    int


    (

    [

    0
    ,

    1

    ]

    )

    =

    [

    0
    ,

    1

    )



    {\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\left[0,\,1\right)}

    .
    Jika digunakan topologi yang setiap himpunan bersifat terbuka, maka



    int


    (

    [

    0
    ,

    1

    ]

    )

    =

    [

    0
    ,

    1

    ]



    {\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\left[0,\,1\right]}

    .
    Jika digunakan topologi dimana himpunan yang bersifat terbuka hanyalah himpunan kosong dan




    R



    {\displaystyle \mathbb {R} }

    itu sendiri, maka



    int


    (

    [

    0
    ,

    1

    ]

    )

    =
    ∅


    {\displaystyle \operatorname {int} \!\left(\left[0,\,1\right]\right)=\varnothing }

    .
    Contoh-contoh di atas menunjukkan bahwa interior dari suatu himpunan bergantung pada topologi dari ruang yang mendasarinya. Dua contoh terakhir merupakan kasus khusus dari teorema berikut:

    Dalam setiap ruang diskret, setiap himpunan sama dengan interiornya, sebab setiap himpunan bersifat terbuka.
    Dalam setiap ruang takdiskret



    X


    {\displaystyle X}

    , oleh karena himpunan yang bersifat terbuka hanyalah



    ∅


    {\displaystyle \varnothing }

    dan



    X


    {\displaystyle X}

    itu sendiri, maka



    int
    ⁡
    X
    =
    X


    {\displaystyle \operatorname {int} X=X}

    dan untuk sembarang



    H
    ⊂
    X


    {\displaystyle H\subset X}

    , maka



    int
    ⁡
    H
    =
    ∅


    {\displaystyle \operatorname {int} H=\varnothing }

    .


    = Sifat-sifat

    =
    Diberikan suatu ruang topologis




    (

    X
    ,

    T

    )



    {\displaystyle \left(X,\,T\right)}

    . Diambil sembarang



    A
    ⊆
    X


    {\displaystyle A\subseteq X}

    dan



    B
    ⊆
    X


    {\displaystyle B\subseteq X}

    .




    int
    ⁡
    A


    {\displaystyle \operatorname {int} A}

    merupakan himpunan terbuka pada



    X


    {\displaystyle X}

    .
    Jika



    A


    {\displaystyle A}

    terbuka pada



    X


    {\displaystyle X}

    , maka



    A
    ⊆
    B


    {\displaystyle A\subseteq B}

    jika dan hanya jika



    A
    ⊆
    int
    ⁡
    B


    {\displaystyle A\subseteq \operatorname {int} B}

    .




    int
    ⁡
    A


    {\displaystyle \operatorname {int} A}

    merupakan himpunan bagian terbuka dari



    A


    {\displaystyle A}

    ketika



    A


    {\displaystyle A}

    diberikan topologi subruang.




    A


    {\displaystyle A}

    merupakan himpunan bagian terbuka dari



    X


    {\displaystyle X}

    jika dan hanya jika



    A
    =
    int
    ⁡
    A


    {\displaystyle A=\operatorname {int} A}

    .
    Intensif:



    int
    ⁡
    H
    ⊆
    H


    {\displaystyle \operatorname {int} H\subseteq H}

    .
    Idempoten:



    int
    ⁡

    (

    int
    ⁡
    A

    )

    =
    int
    ⁡
    A


    {\displaystyle \operatorname {int} \left(\operatorname {int} A\right)=\operatorname {int} A}

    .
    Mengawetkan / mendistribusikan operasi irisan:



    int
    ⁡
    (
    A
    ∩
    B
    )
    =
    (
    int
    ⁡
    A
    )
    ∩
    (
    int
    ⁡
    B
    )


    {\displaystyle \operatorname {int} (A\cap B)=(\operatorname {int} A)\cap (\operatorname {int} B)}

    . Operator interior secara umum tidak mendistribusikan operasi gabungan, sebab hanya terjamin relasi



    int
    ⁡
    (
    A
    ∪
    B
    )
    ⊇
    (
    int
    ⁡
    A
    )
    ∪
    (
    int
    ⁡
    B
    )


    {\displaystyle \operatorname {int} (A\cup B)\supseteq (\operatorname {int} A)\cup (\operatorname {int} B)}

    dan kesamaan mungkin saja tidak berlaku. Sebagai contoh, jika



    X
    =

    R



    {\displaystyle X=\mathbb {R} }

    ,



    A
    =

    [

    0
    ,

    1

    ]



    {\displaystyle A=\left[0,\,1\right]}

    , dan



    B
    =

    (

    1
    ,

    2

    )



    {\displaystyle B=\left(1,\,2\right)}

    , maka



    (
    int
    ⁡
    A
    )
    ∪
    (
    int
    ⁡
    B
    )
    =

    (

    0
    ,

    1

    )

    ∪

    (

    1
    ,

    2

    )

    ⊂

    (

    0
    ,

    2

    )

    =
    int
    ⁡
    (
    A
    ∪
    B
    )


    {\displaystyle (\operatorname {int} A)\cup (\operatorname {int} B)=\left(0,\,1\right)\cup \left(1,\,2\right)\subset \left(0,\,2\right)=\operatorname {int} (A\cup B)}


    Monoton tak turun terhadap



    ⊆


    {\displaystyle \subseteq }

    : Jika



    A
    ⊆
    B


    {\displaystyle A\subseteq B}

    , maka



    int
    ⁡
    A
    ⊆
    int
    ⁡
    B


    {\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {int} B}

    .
    Sifat lainnya antara lain:

    Jika



    A


    {\displaystyle A}

    tertutup dan



    int
    ⁡
    B
    =
    ∅


    {\displaystyle \operatorname {int} B=\varnothing }

    , maka



    int
    ⁡
    (
    A
    ∪
    B
    )
    =
    int
    ⁡
    A


    {\displaystyle \operatorname {int} (A\cup B)=\operatorname {int} A}

    .


    = Hubungan dengan penutup

    =
    Pernyataan-pernyataan di atas akan tetap bernilai benar jika semua simbol/kata

    "interior", "int", "terbuka", "himpunan bagian", dan "terbesar"
    berturut-turut diganti dengan

    "penutup", "cl", "tertutup", "superhimpunan", dan "terkecil"
    dan simbol-simbol berikut ditukar:




    ⊆


    {\displaystyle \subseteq }

    ditukar dengan



    ⊇


    {\displaystyle \supseteq }





    ∪


    {\displaystyle \cup }

    ditukar dengan



    ∩


    {\displaystyle \cap }


    Untuk lebih lengkapnya, lihat bagian operator interior di bawah atau artikel aksioma penutup Kuratowski.


    Operator interior


    Operator interior




    int

    X




    {\displaystyle \operatorname {int} _{X}}

    merupakan dual dari operator penutup, yang ditulis sebagai




    cl

    X




    {\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}

    atau dengan garis atas —, dalam artian bahwa





    int

    X


    ⁡
    H
    =


    (



    H


    c



    ¯


    )



    c





    {\displaystyle \operatorname {int} _{X}H=\left({\overline {H^{\mathsf {c}}}}\right)^{\mathsf {c}}}


    dan juga






    H
    ¯


    =


    (


    int

    X


    ⁡
    (

    H


    c



    )

    )



    c





    {\displaystyle {\overline {H}}=\left(\operatorname {int} _{X}(H^{\mathsf {c}})\right)^{\mathsf {c}}}


    dengan



    X


    {\displaystyle X}

    menyatakan ruang topologis yang memuat



    H


    {\displaystyle H}

    , dan simbol







    l





    c





    {\displaystyle {\phantom {l}}^{\mathsf {c}}}

    menyatakan operasi komplemen himpunan. Akibatnya, teori abstrak mengenai operator penutup dan aksioma penutup Kuratowski siap untuk diterjemahkan ke dalam bahasa operator interior, dengan mengganti himpunan menjadi komplemennya pada



    X


    {\displaystyle X}

    .
    Secara umum, operator interior tidak bersifat komutatif dengan operasi gabungan. Akan tetapi, hasil berikut berlaku pada ruang metrik lengkap:

    Hasil di atas mengakibatkan bahwa setiap ruang metrik lengkap merupakan ruang Baire.


    Eksterior dari suatu himpunan


    Eksterior dari himpunan bagian



    H


    {\displaystyle H}

    pada ruang topologis



    X


    {\displaystyle X}

    , ditulis sebagai




    ext

    X


    ⁡
    H


    {\displaystyle \operatorname {ext} _{X}H}

    atau



    ext
    ⁡
    H


    {\displaystyle \operatorname {ext} H}

    , adalah himpunan terbuka terbesar yang saling lepas dengan



    H


    {\displaystyle H}

    , yaitu gabungan semua himpunan terbuka pada



    X


    {\displaystyle X}

    yang saling asing dengan



    H


    {\displaystyle H}

    . Eksterior merupakan interior dari komplemen, yang sama dengan komplemen dari penutup. Secara simbolis, maka




    ext
    ⁡
    H
    =
    int
    ⁡

    H


    c



    =


    (


    H
    ¯


    )



    c





    {\displaystyle \operatorname {ext} H=\operatorname {int} H^{\mathsf {c}}=\left({\overline {H}}\right)^{\mathsf {c}}}


    Serupa seperti sebelumnya, interior merupakan eksterior dari komplemen. Secara simbolis maka,




    int
    ⁡
    H
    =
    ext
    ⁡

    H


    c





    {\displaystyle \operatorname {int} H=\operatorname {ext} H^{\mathsf {c}}}


    Interior, batas, dan eksterior dari himpunan



    H


    {\displaystyle H}

    bersama-sama mempartisi seluruh ruang menjadi tiga bagian (atau kurang, jika salah satunya merupakan himpunan kosong). Secara simbolis, maka




    X
    =
    int
    ⁡
    H

    ∪

    ∂
    H

    ∪

    ext
    ⁡
    H


    {\displaystyle X=\operatorname {int} H\;\cup \;\partial H\;\cup \;\operatorname {ext} H}


    dengan



    ∂
    H


    {\displaystyle \partial H}

    menyatakan batas dari



    H


    {\displaystyle H}

    . Interior dan eksterior selalu bersifat terbuka, sedangkan batas bersifat tertutup.
    Beberapa sifat dari operator eksterior berbeda dengan operator interior, diantaranya:

    Operator eksterior membalik urutan himpunan bagian: Jika



    A
    ⊆
    B


    {\displaystyle A\subseteq B}

    , maka



    ext
    ⁡
    B
    ⊆
    ext
    ⁡
    A


    {\displaystyle \operatorname {ext} B\subseteq \operatorname {ext} A}

    .
    Operator eksterior tidak bersifat idempoten. Operator eksterior memiliki sifat bahwa



    int
    ⁡
    A
    ⊆
    ext
    ⁡

    (

    ext
    ⁡
    A

    )



    {\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {ext} \left(\operatorname {ext} A\right)}

    .


    Lihat juga


    Interior aljabar
    DE-9IM
    Aljabar interior
    Teorema kurva Jordan
    Interior kuasi-relatif


    Referensi




    Pranala luar


    (Inggris) Interior di PlanetMath.

Kata Kunci Pencarian:


Warning: Invalid argument supplied for foreach() in /www/wwwroot/5.180.24.3/wp-content/themes/muvipro/search.php on line 388
Pengertian Topologi Jaringan Dan Jenis | PDF

Pengertian Topologi Jaringan Dan Jenis | PDF

Pengertian Topologi Jaringan Dan Jenis | PDF

Pengertian Topologi Jaringan Dan Jenis | PDF

SOLUTION: 326330565 pengertian topologi jaringan - Studypool

SOLUTION: 326330565 pengertian topologi jaringan - Studypool

Macam Macam Topologi Dalam Jaringan Komputer - IMAGESEE

Macam Macam Topologi Dalam Jaringan Komputer - IMAGESEE

Contoh Topologi Mesh

Contoh Topologi Mesh

√ Pengertian Topologi Jaringan dan Jenisnya

√ Pengertian Topologi Jaringan dan Jenisnya

Topologi Jaringan Internet - Homecare24

Topologi Jaringan Internet - Homecare24

Technology Everywhere: RESUME TOPOLOGI JARINGAN

Technology Everywhere: RESUME TOPOLOGI JARINGAN

Apa itu Topologi? | Macam-macam Topologi Jaringan | NgoprakIT

Apa itu Topologi? | Macam-macam Topologi Jaringan | NgoprakIT

Macam - Macam Topologi Jaringan Lengkap | Semua Ada Disini

Macam - Macam Topologi Jaringan Lengkap | Semua Ada Disini

Macam - Macam Topologi Jaringan Lengkap | Semua Ada Disini

Macam - Macam Topologi Jaringan Lengkap | Semua Ada Disini

Macam - Macam Topologi Jaringan Lengkap | Semua Ada Disini

Macam - Macam Topologi Jaringan Lengkap | Semua Ada Disini