Dalam matematika, Ekspresi bentuk-tertutup adalah Ekspresi matematika yang diekspresikan menggunakan hingga dari operasi standar. Ini mungkin berisi konstanta, variabel, "terkenal" tertentu operasi (misalnya, + - × ÷), dan fungsi (misalnya, akar ke- ke-', eksponen, logaritma , fungsi trigonometri, dan fungsi hiperbolik invers), tetapi biasanya tidak ada batas, diferensiasi, atau integrasi. Himpunan operasi dan fungsi yang diterima dalam Ekspresi bentuk tertutup mungkin berbeda dengan penulis dan konteks.

Contoh: akar dari polinomial

Solusi dari setiap persamaan kuadrat dengan kompleks koefisien dapat diekspresikan dalam bentuk tertutup dalam penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan akar kuadrat ekstraksi, yang masing-masing merupakan fungsi dasar. Misalnya persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0 , {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,} dapat ditelusuri karena solusinya dapat dinyatakan sebagai Ekspresi bentuk tertutup, yaitu dalam istilah fungsi dasar: x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a . {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.} Demikian pula solusi persamaan kubik dan kuartik (derajat ketiga dan keempat) dapat diekspresikan menggunakan aritmatika, akar kuadrat, dan akar kubik, atau sebagai alternatif menggunakan fu aritmatika dan trigonometri. Namun, ada persamaan kuintik tanpa solusi bentuk tertutup yang menggunakan fungsi elementer, seperti x5 − x + 1 = 0. Suatu bidang studi dalam matematika yang disebut secara luas sebagai teori Galois melibatkan pembuktian bahwa tidak ada Ekspresi bentuk tertutup dalam konteks tertentu, berdasarkan contoh pusat solusi bentuk tertutup untuk polinomial.

Berurusan dengan Ekspresi non-bentuk tertutup

= Transformasi ke dalam Ekspresi bentuk tertutup

= Ekspresi: f ( x ) = ∑ i = 0 ∞ x 2 i {\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{\infty }{x \over 2^{i}}} tidak dalam bentuk tertutup karena penjumlahan memerlukan jumlah operasi dasar yang tak terbatas. Namun, dengan menjumlahkan deret geometris, Ekspresi ini dapat diekspresikan dalam bentuk tertutup: f ( x ) = 2 x . {\displaystyle f(x)=2x.}

= Teori Diferensial Galois

= Integral dari Ekspresi bentuk tertutup mungkin atau tidak dengan sendirinya dapat diekspresikan sebagai Ekspresi bentuk tertutup. Kajian ini disebut sebagai teori Galois diferensial, dengan analogi dengan aljabar Galois. Teorema dasar teori diferensial Galois adalah karena Joseph Liouville pada tahun 1830-an dan 1840-an dan karenanya disebut sebagai Teorema Liouville. Contoh standar fungsi dasar yang antiturunannya tidak memiliki Ekspresi bentuk tertutup adalah: e − x 2 , {\displaystyle e^{-x^{2}},} yang antiturunannya adalah (hingga konstanta perkalian) fungsi kesalahan: erf ⁡ ( x ) = 2 π ∫ 0 x e − t 2 d t . {\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.}

= Pemodelan matematika dan simulasi komputer

= Persamaan atau sistem yang terlalu kompleks untuk solusi bentuk tertutup atau analitik sering kali dapat dianalisis dengan model matematika ling dan simulasi komputer.

Nomor bentuk tertutup

Tiga subbidang dari bilangan kompleks C telah disarankan sebagai pengkodean gagasan tentang "bilangan bentuk tertutup"; dalam meningkatkan ketertiban umum, ini adalah bilangan Liouville (jangan disamakan dengan bilangan Liouville dalam pengertian pendekatan rasional), bilangan EL dan nomor dasar. Bilangan Liouville, dilambangkan L, membentuk subbidang aljabar tertutup terkecil dari C closed di bawah eksponensiasi dan logaritma (secara formal, perpotongan dari semua subkolom semacam itu) —yaitu, angka yang melibatkan eksponen dan logaritma eksplisit , tetapi memungkinkan polinom eksplisit dan implisit (akar dari polinomial); ini didefinisikan dalam (Ritt 1948, p. 60). L pada awalnya disebut sebagai bilangan elementer, tetapi istilah ini sekarang digunakan secara lebih luas untuk merujuk pada bilangan yang didefinisikan secara eksplisit atau implisit dalam istilah operasi aljabar, eksponensial, dan logaritma. Definisi yang lebih sempit diusulkan dalam (Chow 1999, pp. 441–442).

Numerikal numerik

Untuk keperluan komputasi numerik, bentuk tertutup umumnya tidak diperlukan, karena banyak batasan dan integral dapat dihitung secara efisien.

Konversi dari bentuk numerik

Ada perangkat lunak yang mencoba menemukan Ekspresi bentuk tertutup untuk nilai numerik, termasuk RIES, identify in Maple and SymPy, Plouffe's Inverter, and the Inverse Symbolic Calculator.

Lihat pula

Solusi aljabar Operasi finiter Solusi numerik Simulasi komputer Regresi simbolis Istilah (logika) Fungsi Liouvillian Fungsi dasar

Referensi

Bacaan lebih lanjut

Ritt, J. F. (1948), Integration in finite terms Chow, Timothy Y. (May 1999), "What is a Closed-Form Number?", American Mathematical Monthly, 106 (5): 440–448, arXiv:math/9805045 , doi:10.2307/2589148, JSTOR 2589148 Jonathan M. Borwein and Richard E. Crandall (January 2013), "Closed Forms: What They Are and Why We Care", Notices of the American Mathematical Society, 60 (1): 50–65, doi:10.1090/noti936 

Pranala luar

(Inggris) Weisstein, Eric W. "Closed-Form Solution". MathWorld.