Dalam matematika,
Isomorfisme adalah pemetaan pelestarian struktur antara dua struktur dengan tipe yang sama yang dapat dibalik dengan pemetaan invers. Dua struktur matematika adalah isomorfik jika ada
Isomorfisme di antara keduanya. Kata
Isomorfisme berasal dari Yunani Kuno: ἴσος isos "sama", dan μορφή morphe "form" atau "shape".
Ketertarikan pada
Isomorfisme terletak pada kenyataan bahwa dua objek isomorfik memiliki properti yang sama (tidak termasuk informasi lebih lanjut seperti struktur tambahan atau nama objek). Dengan demikian struktur isomorfik tidak dapat dibedakan dari sudut pandang struktur saja, dan dapat diidentifikasi. Dalam jargon matematika, seseorang mengatakan bahwa dua objek adalah sama hingga sebuah
Isomorfisme .
Sebuah automorphism adalah
Isomorfisme dari suatu struktur ke dirinya sendiri.
Isomorfisme antara dua struktur disebut
Isomorfisme kanonik jika hanya ada satu
Isomorfisme di antara dua struktur (seperti kasus solusi dari sifat universal), atau jika
Isomorfisme jauh lebih alami (dalam arti tertentu) daripada
Isomorfisme lainnya. Misalnya, untuk setiap bilangan prima p, semua bidang dengan elemen p kanonis isomorfik, dengan
Isomorfisme unik. Teorema
Isomorfisme memberikan
Isomorfisme kanonik yang tidak unik.
Istilah
Isomorfisme terutama digunakan untuk struktur aljabar. Dalam hal ini, pemetaan disebut homomorphism, dan homomorphism adalah isomorphism jika dan hanya jika itu bijektif.
Dalam berbagai bidang matematika,
Isomorfisme telah menerima nama khusus, bergantung pada jenis struktur yang dipertimbangkan. Sebagai contoh:
Sebuah isometri adalah
Isomorfisme dari ruang metrik.
A homeomorphism adalah
Isomorfisme dari ruang topologi.
A diffeomorphism adalah isomorfisma ruang yang dilengkapi dengan struktur diferensial, biasanya manifold terdiferensiasi.
A permutasi adalah automorfisme dari himpunan.
Dalam geometri,
Isomorfisme dan automorfisme sering disebut transformasi, misalnya transformasi kaku, transformasi affin, transformasi proyektif.
Category theory, yang dapat dilihat sebagai formalisasi konsep pemetaan antar struktur, menyediakan bahasa yang dapat digunakan untuk menyatukan pendekatan pada aspek-aspek berbeda dari ide dasar.
Logaritma dan eksponensial
Maka
R
+
{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}
jadilah grup perkalian dari bilangan riil positif, dan jika
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
menjadi grup aditif dari bilangan real.
Fungsi logaritma
log
:
R
+
→
R
{\displaystyle \log \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} }
memadai
log
(
x
y
)
=
log
x
+
log
y
{\displaystyle \log(xy)=\log x+\log y}
for all
x
,
y
∈
R
+
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{+}}
, jadi ini adalah homomorfisme kelompok. Fungsi eksponensial
exp
:
R
→
R
+
{\displaystyle \exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}}
satisfies
exp
(
x
+
y
)
=
(
exp
x
)
(
exp
y
)
{\displaystyle \exp(x+y)=(\exp x)(\exp y)}
for all
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }
, jadi itu merupakan homomorfisme.
Identitas
log
exp
x
=
x
{\displaystyle \log \exp x=x}
dan
exp
log
y
=
y
{\displaystyle \exp \log y=y}
menunjukkan bahwa
log
{\displaystyle \log }
dan
exp
{\displaystyle \exp }
adalah inverses satu sama lain. Karena
log
{\displaystyle \log }
adalah homomorfisme yang memiliki kebalikan yang juga merupakan homomorfisme,
log
{\displaystyle \log }
adalah grup
Isomorfisme.
log
{\displaystyle \log }
fungsi adalah
Isomorfisme yang menerjemahkan perkalian bilangan real positif menjadi penjumlahan bilangan real. Fasilitas ini memungkinkan untuk mengalikan bilangan real menggunakan penggaris dan tabel logaritma, atau menggunakan mistar hitung dengan skala logaritma.
Bilangan bulat modulo 6
Pertimbangkan grup
(
Z
6
,
+
)
{\displaystyle (\mathbb {Z} _{6},+)}
, bilangan bulat dari 0 sampai 5 dengan penambahan modulo 6. Juga pertimbangkan grup
(
Z
2
×
Z
3
,
+
)
{\displaystyle (\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{3},+)}
, pasangan terurut di mana koordinat x bisa 0 atau 1, dan koordinat y bisa 0, 1, atau 2, di mana penambahan pada koordinat x - adalah modulo 2 dan penambahan di y - koordinatnya adalah modulo
Struktur-struktur ini adalah isomorfik di bawah skema berikut:
(0,0) ↦ 0
(1,1) ↦ 1
(0,2) ↦ 2
(1,0) ↦ 3
(0,1) ↦ 4
(1,2) ↦ 5
atau secara umum (a,b) ↦ (3a + 4b) mod 6.
Sebagai contoh, (1,1) + (1,0) = (0,1), yang diterjemahkan dalam sistem lain sebagai 1 + 3 = 4.
Meskipun kedua kelompok ini "terlihat" berbeda karena himpunannya mengandung elemen yang berbeda, mereka memang isomorfik: strukturnya persis sama. Secara lebih umum, produk langsung dari dua grup siklik
Z
m
{\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}
dan
Z
n
{\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}
isomorfik menjadi
(
Z
m
n
,
+
)
{\displaystyle (\mathbb {Z} _{mn},+)}
jika dan hanya jika m dan n adalah coprime, sesuai Teorema sisa bahasa Tionghoa.
Isomorfisme yang memelihara relasi
Jika satu objek terdiri dari himpunan X dengan relasi biner R dan objek lainnya terdiri dari himpunan Y dengan relasi biner S maka
Isomorfisme dari X menjadi ' 'Y' 'adalah fungsi bijektif ƒ: X → Y seperti:
S
(
f
(
u
)
,
f
(
v
)
)
⟺
R
(
u
,
v
)
{\displaystyle \operatorname {S} (f(u),f(v))\iff \operatorname {R} (u,v)}
S adalah refleksif, tidak refleksif, simetris, antisimetrik, asimetris, transitif, total, trikotomi, order sebagian, order total, urutan benar, urutan lemah ketat, total praorder (order lemah), an equivalence relation, atau hubungan dengan properti khusus lainnya, jika dan hanya jika R adalah.
Misalnya, R adalah pemesanan ≤ dan S adalah order
⊑
{\displaystyle \scriptstyle \sqsubseteq }
, maka
Isomorfisme dari X menjadi Y adalah fungsi bijektif ƒ: X → Y seperti
f
(
u
)
⊑
f
(
v
)
⟺
u
≤
v
.
{\displaystyle f(u)\sqsubseteq f(v)\iff u\leq v.}
Isomorfisme semacam itu disebut urutan
Isomorfisme atau (lebih jarang)
Isomorfisme isoton .
Jika X = Y, maka ini adalah pelestarian hubungan automorfisme.
Lihat pula
Catatan
Referensi
Bacaan lebih lanjut
Mazur, Barry (12 June 2007), When is one thing equal to some other thing? (PDF)
Pranala luar
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Isomorphism", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Isomorphism, PlanetMath.org.
(Inggris) Weisstein, Eric W. "Isomorphism". MathWorld.
