Dalam topologi dan matematika,
Batas, perbatasan, atau sempadan (bahasa Inggris: boundary) himpunan
S
{\displaystyle S}
dari ruang topologis
X
{\displaystyle X}
merupakan himpunan titik yang dapat didekatkan dari
S
{\displaystyle S}
dan dari luar
S
{\displaystyle S}
. Lebih tepatnya,
Batas (dalam topologi) merupakan himpunan titik dalam ketertutupan
S
{\displaystyle S}
bukan merupakan milik interior
S
{\displaystyle S}
. Sebuah unsur dari
Batas
S
{\displaystyle S}
disebut titik
Batas
S
{\displaystyle S}
, dan istilah operasi
Batas mengartikan sebagai pencarian atau pengambilan
Batas himpunan. Notasi yang digunakan untuk
Batas himpunan
S
{\displaystyle S}
di antaranya
bd
(
S
)
{\displaystyle \operatorname {bd} (S)}
,
fr
(
S
)
{\displaystyle \operatorname {fr} (S)}
, dan
∂
S
{\displaystyle \partial S}
.
Definisi umum
Ada beberapa definisi yang ekuivalen mengenai
Batas himpunan bagian
S
⊆
X
{\displaystyle S\subseteq X}
dari ruang topologis
X
{\displaystyle X}
yang dapat dilambangkan sebagai
∂
X
S
,
{\displaystyle \partial _{X}S,}
Bd
X
S
,
{\displaystyle \operatorname {Bd} _{X}S,}
atau cukup ditulis
∂
S
{\displaystyle \partial S}
:
Batas himpunan merupakan ketertutupan
S
{\displaystyle S}
dikurangi interior
S
{\displaystyle S}
:
∂
S
:=
S
¯
∖
int
X
S
{\displaystyle \partial S:={\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S}
dengan
S
¯
=
cl
X
S
{\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}
menyatakan ketertutupan
S
{\displaystyle S}
di
X
{\displaystyle X}
, dan
int
X
S
{\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}
menyatakan interior topologis
S
{\displaystyle S}
di
X
{\displaystyle X}
.
Batas himpunan merupakan irisan ketertutupan
S
{\displaystyle S}
dengan ketertutupan komplemen:
∂
S
:=
S
¯
∩
(
X
∖
S
)
¯
{\displaystyle \partial S:={\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}}}
Batas himpunan merupakan himpunan titik
p
∈
X
{\displaystyle p\in X}
sehingga setiap lingkungan
p
{\displaystyle p}
memuat setidaknya satu titik
S
{\displaystyle S}
dan setidaknya satu titik yang bukan
S
{\displaystyle S}
:
∂
S
:=
{
p
∈
X
:
untuk semua tetangga
O
dari
p
,
O
∩
S
≠
∅
dan
O
∩
(
X
∖
S
)
≠
∅
}
{\displaystyle \partial S:=\{p\in X:{\text{untuk semua tetangga }}O{\text{ dari }}p,O\cap S\neq \emptyset \,{\text{ dan }}\,O\cap (X\setminus S)\neq \varnothing \}}
Contoh-contoh
Tinjau garis real
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
dengan topologi biasa (yaitu topologi yang himpunan basisnya merupakan selang terbuka) dan
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
merupakan himpunan bagian rasional (yang interior topologi di
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
kosong). Maka
∂
(
0
,
5
)
=
∂
[
0
,
5
)
=
∂
(
0
,
5
]
=
∂
[
0
,
5
]
=
{
0
,
5
}
{\displaystyle \partial (0,5)=\partial [0,5)=\partial (0,5]=\partial [0,5]=\{0,5\}}
∂
∅
=
∅
{\displaystyle \partial \varnothing =\varnothing }
∂
Q
=
R
{\displaystyle \partial \mathbb {Q} =\mathbb {R} }
∂
(
Q
∩
[
0
,
1
]
)
=
[
0
,
1
]
{\displaystyle \partial (\mathbb {Q} \cap [0,1])=[0,1]}
Kedua contoh terakhir ini mengilustrasikan bahwa
Batas himpunan rapat dengan interior kosong adalah ketertutupannya. Kedua contoh tersebut dapat diperlihatkan bahwa untuk
Batas
∂
S
{\displaystyle \partial S}
dari subhimpunan
S
{\displaystyle S}
, memuat subhimpunan terbuka takkosong dari
X
:=
R
{\displaystyle X:=\mathbb {R} }
. Dalam artian untuk interior
∂
S
{\displaystyle \partial S}
di
X
{\displaystyle X}
adalah subhimpunan terbuka takkosong. Akan tetapi,
Batas himpunan tertutup juga selalu mempunyai interior kosong.
Dalam ruang bilangan rasional dengan topologi biasa (topologi subruang
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
),
Batas dari
(
−
∞
,
a
)
{\displaystyle (-\infty ,a)}
adalah kosong, dimana
a
{\displaystyle a}
bilangan irasional.
Batas himpunan merupakan gagasan topologis, dan
Batas himpunan dapat berubah jika salah satunya mengubah topologi. Sebagai contoh, diberikan topologi biasa pada
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
, maka
Batas cakram tertutup
Ω
=
{
(
x
,
y
)
|
x
2
+
y
2
≤
1
}
{\displaystyle \Omega =\{(x,y)|x^{2}+y^{2}\leq 1\}}
merupakan lingkaran sekeliling cakram:
∂
Ω
=
{
(
x
,
y
)
|
x
2
+
y
2
=
1
}
{\displaystyle \partial \Omega =\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}}
. Jika cakramnya dipandang sebagai himpunan di
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
dengan topologi biasa itu sendiri, yaitu
Ω
=
{
(
x
,
y
,
0
)
|
x
2
+
y
2
≤
1
}
{\displaystyle \Omega =\{(x,y,0)|x^{2}+y^{2}\leq 1\}}
, maka
Batas cakramnya adalah cakram itu sendiri:
∂
Ω
=
Ω
{\displaystyle \partial \Omega =\Omega }
. Jika cakramnya dipandang sebagai ruang topologisnya sendiri (dengan topologi subruang
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
), maka
Batas cakramnya kosong.
Sifat-sifat
Ketertutupan dari himpunan
S
{\displaystyle S}
sama dengan gabungan dari himpunan dengan
Batas himpunan
S
{\displaystyle S}
:
S
¯
=
S
∪
∂
X
S
{\displaystyle {\overline {S}}=S\cup \partial _{X}S}
dengan
S
¯
=
cl
X
S
{\displaystyle {\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S}
menyatakan ketertutupan
S
{\displaystyle S}
di
X
{\displaystyle X}
. Sebuah himpunan dikatakan tertutup jika dan hanya jika memuat
Batas himpunan
S
{\displaystyle S}
, dan terbuka jika dan hanya jika melepas dari
Batas himpunan
S
{\displaystyle S}
.
Batas himpunannya adalah tertutup, yang diikuti dari rumus
∂
X
S
:=
S
¯
∩
(
X
∖
S
)
¯
{\displaystyle \partial _{X}S~:=~{\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}}}
. Notasi
∂
X
S
{\displaystyle \partial _{X}S}
merupakan perpotongan dari dua subhimpunan tertutup
X
.
{\displaystyle X.}
("Trikotomi") Diberikan suatu himpunan
S
⊆
X
,
{\displaystyle S\subseteq X,}
maka setiap titik
X
{\displaystyle X}
, tepatnya, terletak di salah satu dari tiga himpunan, yaitu
int
X
S
,
∂
X
S
,
{\displaystyle \operatorname {int} _{X}S,\partial _{X}S,}
dan
int
X
(
X
∖
S
)
.
{\displaystyle \operatorname {int} _{X}(X\setminus S).}
X
=
(
int
X
S
)
∪
(
∂
X
S
)
∪
(
int
X
(
X
∖
S
)
)
{\displaystyle X~=~\left(\operatorname {int} _{X}S\right)\;\cup \;\left(\partial _{X}S\right)\;\cup \;\left(\operatorname {int} _{X}(X\setminus S)\right)}
Ketiga himpunan (yaitu
int
X
S
,
∂
X
S
,
{\displaystyle \operatorname {int} _{X}S,\partial _{X}S,}
dan
int
X
(
X
∖
S
)
{\displaystyle \operatorname {int} _{X}(X\setminus S)}
) adalah himpunan lepas berpasangan. Akibatnya, jika ketiga himpunan tersebut bukan himpunan kosong, maka ketiga himpunan tersebut membentuk partisi dari
X
.
{\displaystyle X.}
Sebuah titik
p
∈
X
{\displaystyle p\in X}
merupakan titik
Batas himpunan jika dan hanya jika setiap tetangga
p
{\displaystyle p}
memuat setidaknya satu titik di himpunan dan yang bukan di himpunan.
Batas interior himpunan yang juga merupakan
Batas dari ketertutupan himpunan memuat di
Batas himpunan.
Untuk suatu himpunan
S
{\displaystyle S}
,
∂
S
⊇
∂
∂
S
{\displaystyle \partial S\supseteq \partial \partial S}
, dengan persamaan berlaku jika dan hanya jika
Batas
S
{\displaystyle S}
tidak memiliki titik interior. Himpunan tersebut akan menjadi kasus sebagai contohnya jika
S
{\displaystyle S}
baik tertutup atau buka. Karena
Batas himpunan tertutup,
∂
∂
S
=
∂
∂
∂
S
{\displaystyle \partial \partial S=\partial \partial \partial S}
untuk suatu himpunan
S
{\displaystyle S}
. Demikian, operator
Batas memenuhi sebuah jenis keidempotenan lemah.
Dalam membahas
Batas manifold atau simpleks dan kompleks simplisialnya,
Batas himpunan sering kali menemukan pernyataan bahwa
Batas dari
Batas selalu kosong. Memang bahwa konstruksi dari homologi singular sangat penting pada fakta ini. Penjelasan untuk keanehan yang jelas ini adalah bahwa
Batas topologis (subjek artikel ini) adalah konsep yang agak berbeda dari
Batas manifold atau sebuah kompleks simplisial. Contohnya,
Batas cakram buka yang dipandang sebagai sebuah manifold adalah kosong, karena
Batas topologisnya dipandang sebagai sebuah himpunan bagiannya sendiri, sementara
Batas topologisnya yang dipandang sebagai sebuah himpunan bagian dari bidang real adalah lingkaran yang mengelilingi cakram. Sebaliknya,
Batas cakram tertutup yang dipandang sebagai sebuah manifold adalah lingkaran pembatas, karena
Batas topologisnya dipandang sebagai sebuah himpunan bagian dari bidang real, sementara
Batas topologisnya yang dipandang sebagai sebuah himpunan bagiannya sendiri adalah kosong. (Khususnya,
Batas topologisnya bergantung pada ruang sekitar, sementara
Batas manifoldnya adalah invarian.)
Lihat pula
Lihat diskusi
Batas di manifold topologis untuk lebih lanjut
Batas manifold
Titik pembatas – konsep matematis yang berkaitan dengan himpunan bagian ruang vektor
Ketertutupan (topologi)
Eksterior (topologi) – himpunan bagian buka terbesar yang dengan adanya "diluar" himpunan bagian
Interior (topologi)
Himpunan rapat tak di mana-mana
Teorema kerapatan Lebesgue, untuk pencirian ukuran teoretik dan sifat-sifat
Batas.
Permukaan (topologi) – manifold berdimensi dua
Catatan
Referensi
Bacaan lebih lanjut
Munkres, J. R. (2000). Topology. Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2.
Willard, S. (1970). General Topology. Addison-Wesley. ISBN 0-201-08707-3.
van den Dries, L. (1998). Tame Topology. ISBN 978-0521598385.
