Nilai desimal dari Logaritma natural dari 2 (urutan (barisan A002162 pada OEIS) kira-kira ln ⁡ 2 ≈ 0.693 147 180 559 945 309 417 232 121 458 {\displaystyle \ln 2\approx 0.693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458} . Logaritma dari 2 dalam basis lainnya diperoleh dengan rumus log b ⁡ 2 = ln ⁡ 2 ln ⁡ b {\displaystyle \log _{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b}}} Logaritma umum secara khusus adalah  A007524 log 10 ⁡ 2 ≈ 0.301 029 995 663 981 195 {\displaystyle \log _{10}2\approx 0.301\,029\,995\,663\,981\,195} . Invers dari bilangannya ini adalah Logaritma biner dari 10: log 2 ⁡ 10 = 1 log 10 ⁡ 2 ≈ 3.321 928 095 {\displaystyle \log _{2}10={\frac {1}{\log _{10}2}}\approx 3.321\,928\,095}  A020862 Dengan menggunakan teorema Lindemann–Weierstrass, Logaritma natural dari setiap bilangan asli selain 0 dan 1 (lebih umumnya, dari setiap positif bilangan aljabar selain 1) adalah sebuah bilangan transenden.

Wakilan deret

= Faktorial bolak-balik menaik

= ln ⁡ 2 = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − 1 6 + ⋯ {\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots } . Ini dikenal "deret harmonik bolak-balik". ln ⁡ 2 = 1 2 + 1 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n ( n + 1 ) {\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)}}} . ln ⁡ 2 = 5 8 + 1 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) {\displaystyle \ln 2={\frac {5}{8}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)}}} . ln ⁡ 2 = 2 3 + 3 4 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) {\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {3}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}}} . ln ⁡ 2 = 131 192 + 3 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) {\displaystyle \ln 2={\frac {131}{192}}+{\frac {3}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}} . ln ⁡ 2 = 661 960 + 15 4 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) ( n + 5 ) {\displaystyle \ln 2={\frac {661}{960}}+{\frac {15}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}} .

= Faktorial konstanta menaik biner

= ln ⁡ 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n n {\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}} . ln ⁡ 2 = 1 − ∑ n = 1 ∞ 1 2 n n ( n + 1 ) {\displaystyle \ln 2=1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)}}} . ln ⁡ 2 = 1 2 + 2 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n n ( n + 1 ) ( n + 2 ) {\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)}}} . ln ⁡ 2 = 5 6 − 6 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) {\displaystyle \ln 2={\frac {5}{6}}-6\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)}}} ln ⁡ 2 = 7 12 + 24 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) {\displaystyle \ln 2={\frac {7}{12}}+24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}} . ln ⁡ 2 = 47 60 − 120 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n + 4 ) ( n + 5 ) {\displaystyle \ln 2={\frac {47}{60}}-120\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}} .

= Wakilan deret lainnya

= ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) = ln ⁡ 2 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}=\ln 2} . ∑ n = 1 ∞ 1 n ( 4 n 2 − 1 ) = 2 ln ⁡ 2 − 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)}}=2\ln 2-1} . ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n ( 4 n 2 − 1 ) = ln ⁡ 2 − 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(4n^{2}-1)}}=\ln 2-1} . ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n ( 9 n 2 − 1 ) = 2 ln ⁡ 2 − 3 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(9n^{2}-1)}}=2\ln 2-{\frac {3}{2}}} . ∑ n = 1 ∞ 1 4 n 2 − 2 n = ln ⁡ 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-2n}}=\ln 2} . ∑ n = 1 ∞ 2 ( − 1 ) n + 1 ( 2 n − 1 ) + 1 8 n 2 − 4 n = ln ⁡ 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^{2}-4n}}=\ln 2} . ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 3 n + 1 = ln ⁡ 2 3 + π 3 3 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+1}}={\frac {\ln 2}{3}}+{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}} . ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 3 n + 2 = − ln ⁡ 2 3 + π 3 3 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+2}}=-{\frac {\ln 2}{3}}+{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}} . ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 3 n + 1 ) ( 3 n + 2 ) = 2 ln ⁡ 2 3 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(3n+1)(3n+2)}}={\frac {2\ln 2}{3}}} . ∑ n = 1 ∞ 1 ∑ k = 1 n k 2 = 18 − 24 ln ⁡ 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\sum _{k=1}^{n}k^{2}}}=18-24\ln 2} menggunakan lim N → ∞ ∑ n = N 2 N 1 n = ln ⁡ 2 {\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\sum _{n=N}^{2N}{\frac {1}{n}}=\ln 2} . ∑ n = 1 ∞ 1 4 k 2 − 3 k = ln ⁡ 2 + π 6 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4k^{2}-3k}}=\ln 2+{\frac {\pi }{6}}} (jumlah timbal-balik dari bilangan dekagonal).

= Melibatkan fungsi zeta Riemann

= ∑ n = 2 ∞ 1 2 n [ ζ ( n ) − 1 ] = ln ⁡ 2 − 1 2 {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}[\zeta (n)-1]=\ln 2-{\frac {1}{2}}} . ∑ n = 2 ∞ 1 2 n + 1 [ ζ ( n ) − 1 ] = 1 − γ − ln ⁡ 2 2 {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}[\zeta (n)-1]=1-\gamma -{\frac {\ln 2}{2}}} . ∑ n = 1 ∞ 1 2 2 n − 1 ( 2 n + 1 ) ζ ( 2 n ) = 1 − ln ⁡ 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{2n-1}(2n+1)}}\zeta (2n)=1-\ln 2} . ( γ {\displaystyle \gamma } adalah konstanta Euler−Mascheroni dan ζ {\displaystyle \zeta } adalah fungsi zeta Riemann.)

= Wakilan tipe-BBP

= ln ⁡ 2 = 2 3 + 1 2 ∑ k = 1 ∞ ( 1 2 k + 1 4 k + 1 + 1 8 k + 4 + 1 16 k + 12 ) 1 16 k {\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16^{k}}}} (Lihat lebih banyak mengenai wakilan tipe Bailey−Borwein−Plouffe (BBP).) Menerapkan ketiga deret umum untuk Logaritma natural ke 2 secara langsung memberikan: ln ⁡ 2 = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n {\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}} . ln ⁡ 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n n {\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}} . ln ⁡ 2 = 2 3 ∑ k = 0 ∞ 1 9 k ( 2 k + 1 ) {\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{9^{k}(2k+1)}}} . Menerapkannya untuk 2 = 3 2 ⋅ 4 3 {\displaystyle \textstyle {2={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{3}}}} memberikan: ln ⁡ 2 = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 2 n n + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 3 n n {\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}n}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{3^{n}n}}} . ln ⁡ 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 3 n n + ∑ n = 1 ∞ 1 4 n n {\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}n}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}n}}} . ln ⁡ 2 = 2 5 ∑ k = 0 ∞ 1 25 k ( 2 k + 1 ) + 2 7 ∑ k = 0 ∞ 1 49 k ( 2 k + 1 ) {\displaystyle \ln 2={\frac {2}{5}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{25^{k}(2k+1)}}+{\frac {2}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{49^{k}(2k+1)}}} . Menerapkannya untuk 2 = ( 2 ) 2 {\displaystyle 2=\left({\sqrt {2}}\right)^{2}} memberikan: ln ⁡ 2 = 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 ( 2 + 1 ) n n {\displaystyle \ln 2=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{({\sqrt {2}}+1)^{n}n}}} . ln ⁡ 2 = 2 ∑ n = 1 ∞ 1 ( 2 + 2 ) n n {\displaystyle \ln 2=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2+{\sqrt {2}})^{n}n}}} . ln ⁡ 2 = 4 3 + 2 2 ∑ k = 0 ∞ 1 ( 17 + 12 2 ) k ( 2 k + 1 ) {\displaystyle \ln 2={\frac {4}{3+2{\sqrt {2}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(17+12{\sqrt {2}})^{k}(2k+1)}}} . Menerapkannya untuk 2 = ( 16 15 ) 7 ⋅ ( 81 80 ) 3 ⋅ ( 25 24 ) 5 {\displaystyle \textstyle 2={\left({\frac {16}{15}}\right)}^{7}\cdot {\left({\frac {81}{80}}\right)}^{3}\cdot {\left({\frac {25}{24}}\right)}^{5}} memberikan: ln ⁡ 2 = 7 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 15 n n + 3 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 80 n n + 5 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 24 n n {\displaystyle \ln 2=7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{15^{n}n}}+3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{80^{n}n}}+5\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{24^{n}n}}} . ln ⁡ 2 = 7 ∑ n = 1 ∞ 1 16 n n + 3 ∑ n = 1 ∞ 1 81 n n + 5 ∑ n = 1 ∞ 1 25 n n {\displaystyle \ln 2=7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}n}}+3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{81^{n}n}}+5\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{25^{n}n}}} . ln ⁡ 2 = 14 31 ∑ k = 0 ∞ 1 961 k ( 2 k + 1 ) + 6 161 ∑ k = 0 ∞ 1 25921 k ( 2 k + 1 ) + 10 49 ∑ k = 0 ∞ 1 2401 k ( 2 k + 1 ) {\displaystyle \ln 2={\frac {14}{31}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{961^{k}(2k+1)}}+{\frac {6}{161}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{25921^{k}(2k+1)}}+{\frac {10}{49}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2401^{k}(2k+1)}}} .

Wakilan sebagai integral

Logaritma natural dari 2 sering terjadi sebagai hasil integrasi. Beberapa rumus eksplisit untuknya termasuk ∫ 0 1 d x 1 + x = ∫ 1 2 d x x = ln ⁡ 2 {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\int _{1}^{2}{\frac {dx}{x}}=\ln 2} . ∫ 0 ∞ e − x 1 − e − x x d x = ln ⁡ 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx=\ln 2} . ∫ 0 π 3 tan ⁡ x d x = 2 ∫ 0 π 4 tan ⁡ x d x = ln ⁡ 2 {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\tan x\,dx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan x\,dx=\ln 2} .

Wakilan lainnya

Pengembangan Piercenya adalah  A091846 ln ⁡ 2 = 1 − 1 1 ⋅ 3 + 1 1 ⋅ 3 ⋅ 12 − ⋯ {\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 12}}-\cdots } Pengembangan Engelnya adalah  A059180 ln ⁡ 2 = 1 2 + 1 2 ⋅ 3 + 1 2 ⋅ 3 ⋅ 7 + 1 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 9 + ⋯ {\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}}+\cdots } Pengembangan kotangennya adalah  A081785 ln ⁡ 2 = cot ⁡ ( arccot ⁡ ( 0 ) − arccot ⁡ ( 1 ) + arccot ⁡ ( 5 ) − arccot ⁡ ( 55 ) + arccot ⁡ ( 14187 ) − ⋯ ) {\displaystyle \ln 2=\cot({\operatorname {arccot}(0)-\operatorname {arccot}(1)+\operatorname {arccot}(5)-\operatorname {arccot}(55)+\operatorname {arccot}(14187)-\cdots })} Pengembangan pecahan berlanjutnya adalah  A016730 ln ⁡ 2 = [ 0 ; 1 , 2 , 3 , 1 , 6 , 3 , 1 , 1 , 2 , 1 , 1 , 1 , 1 , 3 , 10 , 1 , 1 , 1 , 2 , 1 , 1 , 1 , 1 , 3 , 2 , 3 , 1 , . . . ] {\displaystyle \ln 2=\left[0;1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,1,1,3,10,1,1,1,2,1,1,1,1,3,2,3,1,...\right]} yang menghasilkan aproksimasi rasional, beberapa yang pertama adalah 0 {\displaystyle 0} , 1 {\displaystyle 1} , 2 3 {\displaystyle \textstyle {\frac {2}{3}}} , 7 10 {\displaystyle \textstyle {\frac {7}{10}}} , 9 13 {\displaystyle \textstyle {\frac {9}{13}}} , dan 61 88 {\displaystyle \textstyle {\frac {61}{88}}} . Pecahan berlanjut yang digeneralisasi ini: ln ⁡ 2 = [ 0 ; 1 , 2 , 3 , 1 , 5 , 2 3 , 7 , 1 2 , 9 , 2 5 , . . . , 2 k − 1 , 2 k , . . . ] {\displaystyle \ln 2=\left[0;1,2,3,1,5,{\tfrac {2}{3}},7,{\tfrac {1}{2}},9,{\tfrac {2}{5}},...,2k-1,{\frac {2}{k}},...\right]} , dapat diekspresikan sebagai ln ⁡ 2 = 1 1 + 1 2 + 1 3 + 2 2 + 2 5 + 3 2 + 3 7 + 4 2 + ⋱ = 2 3 − 1 2 9 − 2 2 15 − 3 2 21 − ⋱ {\displaystyle \ln 2={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+{\cfrac {3}{7+{\cfrac {4}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}}

Bootstrap Logaritma lainnya

Diberikan sebuah nilai dari ln ⁡ 2 {\displaystyle \ln 2} , sebuah skema menghitung Logaritma dari bilangan bulat lainnya adalah untuk mentabulasi Logaritma dari bilangan prima dan di lapisan berikutnya, Logaritma dari bilangan komposit c {\displaystyle c} berdasarkan faktorisasinya c = 2 i 3 j 5 k 7 l ⋯ → ln ⁡ ( c ) = i ln ⁡ ( 2 ) + j ln ⁡ ( 3 ) + k ln ⁡ ( 5 ) + l ln ⁡ ( 7 ) + ⋯ {\displaystyle c=2^{i}3^{j}5^{k}7^{l}\cdots \rightarrow \ln(c)=i\ln(2)+j\ln(3)+k\ln(5)+l\ln(7)+\cdots } Ini memakai DI lapisan ketiga, Logaritma bilangan rasional r = a b {\displaystyle r={\frac {a}{b}}} dihitung dengan menggunakan ln ⁡ ( r ) = ln ⁡ ( a ) − ln ⁡ ( b ) {\displaystyle \ln(r)=\ln(a)-\ln(b)} , dan Logaritma akar melalui ln ⁡ c n = 1 n ln ⁡ c {\displaystyle \ln {\sqrt[{n}]{c}}={\frac {1}{n}}\ln c} . Logaritma dari 2 berguna dalam arti bahwa pangkat dari 2 tersebar agak padat, mencari 2 i {\displaystyle 2^{i}} yang mendekati dengan pangkat b j {\displaystyle b^{j}} dari bilangan b {\displaystyle b} lainnya relatif mudah, dan representasi deret ln ⁡ b {\displaystyle \ln b} dengan menggabungkan 2 {\displaystyle 2} ke b {\displaystyle b} dengan perubahan logaritmik.

= Contoh

= Jika p s = q t + d {\displaystyle p^{s}=q^{t}+d} dengan beberapa d {\displaystyle d} , maka p s q t = 1 + d q t {\displaystyle {\frac {p^{s}}{q^{t}}}=1+{\frac {d}{q^{t}}}} dan karena itu s ln ⁡ ( p ) − t ln ⁡ ( q ) = ln ⁡ ( 1 + d q t ) = ∑ m = 1 ∞ ( − 1 ) m + 1 ( d q t ) m m = ∑ n = 0 ∞ 2 2 n + 1 ( d 2 q t + d ) 2 n + 1 {\displaystyle s\ln(p)-t\ln(q)=\ln \left(1+{\frac {d}{q^{t}}}\right)=\sum _{m=1}^{\infty }(-1)^{m+1}{\frac {({\frac {d}{q^{t}}})^{m}}{m}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{2n+1}}{\left({\frac {d}{2q^{t}+d}}\right)}^{2n+1}} Memilih q = 2 {\displaystyle q=2} mewakili ln ⁡ ( p ) {\displaystyle \ln(p)} oleh ln ⁡ 2 {\displaystyle \ln 2} dan sebuah deret dari sebuah parameter d q t {\displaystyle {\frac {d}{q^{t}}}} yang ingin tetap kecil untuk konvergen cepat. Mengambil 3 2 = 2 3 + 1 {\displaystyle 3^{2}=2^{3}+1} , sebagai contoh, menghasilkan 2 ln ⁡ ( 3 ) = 3 ln ⁡ 2 − ∑ k ≥ 1 ( − 1 ) k 8 k k = 3 ln ⁡ 2 + ∑ n = 0 ∞ 2 2 n + 1 ( 1 2 ⋅ 8 + 1 ) 2 n + 1 {\displaystyle 2\ln(3)=3\ln 2-\sum _{k\geq 1}{\frac {(-1)^{k}}{8^{k}k}}=3\ln 2+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{2n+1}}{\left({\frac {1}{2\cdot 8+1}}\right)}^{2n+1}} : Ini sebenarnya baris ketiga dalam tabel ekspansi tipe ini: Dimulai dari Logaritma natural dari q = 10 {\displaystyle q=10} , salah satunya dapat menggunakan parameter-parameter ini:

Digit yang diketahui

Ini adalah sebuah tabel catatan terbaru dalam menghitung digit ln ⁡ 2 {\displaystyle \ln 2} . Mulai Desember 2018, ini telah dihitung lebih banyak digit dari setiap Logaritma natural dari sebuah bilangan asli, kecuali 1.

Lihat pula

Aturan 72#Penggabungan kontinu, di mana ln ⁡ 2 {\displaystyle \ln 2} sangat menonjol Waktu-paruh#Rumus untuk waktu-paruh dalam peluruhan eksponensial, di mana ln ⁡ 2 {\displaystyle \ln 2} sangat menonjol Persamanan Erdős–Moser, semua penyelesaian harus datang dari sebuah konvergen dari ln ⁡ 2 {\displaystyle \ln 2} .

Referensi

Brent, Richard P. (1976). "Fast multiple-precision evaluation of elementary functions". J. ACM. 23 (2): 242–251. doi:10.1145/321941.321944. MR 0395314. Uhler, Horace S. (1940). "Recalculation and extension of the modulus and of the logarithms of 2, 3, 5, 7 and 17". Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 26 (3): 205–212. doi:10.1073/pnas.26.3.205. MR 0001523. PMC 1078033 . PMID 16588339. Sweeney, Dura W. (1963). "On the computation of Euler's constant". Mathematics of Computation. 17 (82): 170–178. doi:10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X . MR 0160308. Chamberland, Marc (2003). "Binary BBP-formulae for logarithms and generalized Gaussian–Mersenne primes" (PDF). Journal of Integer Sequences. 6: 03.3.7. MR 2046407. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2011-06-06. Diakses tanggal 2010-04-29. Gourévitch, Boris; Guillera Goyanes, Jesús (2007). "Construction of binomial sums for π and polylogarithmic constants inspired by BBP formulas" (PDF). Applied Math. E-Notes. 7: 237–246. MR 2346048. Wu, Qiang (2003). "On the linear independence measure of logarithms of rational numbers". Mathematics of Computation. 72 (242): 901–911. doi:10.1090/S0025-5718-02-01442-4 .

Pranala luar

(Inggris) Weisstein, Eric W. "Natural logarithm of 2". MathWorld. table of natural logarithms, PlanetMath.org. Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal. "The logarithm constant:log 2".